查看“︁五阶群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=五阶循环群
|eng_name=cyclic group of order 5
|aliases=五阶群,group of order 5
}}
{{Identity
|name=五阶群
|type=群
|symbol=<math>C_5</math>
|latex=C_5
}}
{{#seo:
|keywords=五阶群, 五阶循环群
|description=五元素集上构成的群一定是循环群，即五阶循环群。五阶循环群有一个幺元和四个地位相似的五阶元，都是生成元。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-10-11
}}
只有五个元素的[[集合]]上，[[封闭]]、有[[幺元]]、有[[逆元]]的五元运算。由于 5 是一个[[质数]]，只存在循环群一种结构，一般也被称为''' 5 阶循环群''' <math>C_5</math> 。

== 举例 ==

* 模 5 加法群 <math>\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}</math> 。
* 5 阶循环群 <math>C_5</math> 。一个将圆周均分为 5 份的旋转。

== 刻画 ==

五阶群只能是循环群：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另四个可以表达为 <math>g, g^2, g^3, g^4</math> ，且这五个元素其中每个都生成这个群。

=== Cayley 表 ===

五阶群的 [[Cayley 表]]如下所示：

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & a & b & c & d \\ \hline
e & e & a & b & c & d \\
a & a & b & c & d & e \\
b & b & c & d & e & a \\
c & c & d & e & a & b \\
d & d & e & a & b & c \\
\end{array}
</math>

或者用更循环群的 <math>g, g^2, g^3, g^4, g^5 = e</math> 表示：

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\ \hline
e & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\
g & g & g^2 & g^3 & g^4 & e \\
g^2 & g^2 & g^3 & g^4 & e & g \\
g^3 & g^3 & g^4 & e & g & g^2 \\
g^4 & g^4 & e & g & g^2 & g^3 \\
\end{array}
</math>

可以按照旋转循环形式可视化为：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>C_5</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
! 1/5周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
! 2/5周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
! 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
! 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
| 1/5周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
| 2/5周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
| 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
| 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
|-
! 1/5周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
| 1/5周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
| 2/5周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
| 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
| 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^5=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
|-
! 2/5周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
| 2/5周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
| 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
| 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^5=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
| 1/5周旋转 <br/> <math>r^6=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
|-
! 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
| 3/5周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
| 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^5=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
| 1/5周旋转 <br/> <math>r^6=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
| 2/5周旋转 <br/> <math>r^7=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
|-
! 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
| 4/5周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x4}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^5=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_e}}
| 1/5周旋转 <br/> <math>r^6=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x}}
| 2/5周旋转 <br/> <math>r^7=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x2}}
| 3/5周旋转 <br/> <math>r^8=r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c5_x3}}
|}

=== Cayley 图 ===

是一个循环群，阶为 5 。

{{GiteaSvg|groups/c5_graph}}

=== 群表示 ===

五阶群的[[群表示]]为 <math>\langle x\mid x^5 \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 五阶群中，幺元以外的四个元素 <math>g, g^2, g^3, g^4</math> 都是五阶的。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：质数阶群只有平凡子群，即[[平凡群]]和自身。
** [[正规子群]]：交换群的子群都是正规子群，以上两个子群均正规。
** [[商群]]：对平凡子群做商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。
* 自同态结构
** 有五个[[群自同态|自同态]]：选择一个生成元，分别将这个生成元映射到五个元素上，共有 5 种。由于所有元素都是 5 阶，这个过程中其他元素也一定对应地遍历了所有 5 个位置，不存在重复和遗漏。
** 有四个[[群自同构|自同构]]：自同态中去除[[平凡同态]]之后为 4 个自同构。在复合运算下，恒等同态是幺元， <math>g\mapsto g^4</math> 是二阶元， <math>g\mapsto g^2</math> 和 <math>g\mapsto g^3</math> 是四阶元，因此 <math>\mathrm{Aut}(C_5)\cong C_4</math> 。


{{小阶数群}}