五阶群
| 五阶循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 五阶循环群 |
| 英语名称 | cyclic group of order 5 |
| 别名 | 五阶群, group of order 5 |
| 五阶群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 五阶群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| Latex | C_5
|
| 对象类别 | 群 |
只有五个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的五元运算。由于 5 是一个质数，只存在循环群一种结构，一般也被称为 5 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] 。
举例
- 模 5 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} }[/math] 。
- 5 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] 。一个将圆周均分为 5 份的旋转。
刻画
五阶群只能是循环群：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 另四个可以表达为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4 }[/math] ，且这五个元素其中每个都生成这个群。
Cayley 表
五阶群的 Cayley 表如下所示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b & c & d \\ \hline e & e & a & b & c & d \\ a & a & b & c & d & e \\ b & b & c & d & e & a \\ c & c & d & e & a & b \\ d & d & e & a & b & c \\ \end{array} }[/math]
或者用更循环群的 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4, g^5 = e }[/math] 表示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\ \hline e & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\ g & g & g^2 & g^3 & g^4 & e \\ g^2 & g^2 & g^3 & g^4 & e & g \\ g^3 & g^3 & g^4 & e & g & g^2 \\ g^4 & g^4 & e & g & g^2 & g^3 \\ \end{array} }[/math]
可以按照旋转循环形式可视化为：
| 复合 | 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math] 
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math] 
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math] 
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math] 
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math] 
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|---|---|---|---|---|---|
| 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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| 1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^5=i }[/math]
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| 2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^5=i }[/math]
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^6=r }[/math]
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| 3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^5=i }[/math]
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^6=r }[/math]
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r^2 }[/math]
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| 4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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4/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^5=i }[/math]
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1/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^6=r }[/math]
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2/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r^2 }[/math]
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3/5周旋转 [math]\displaystyle{ r^8=r^3 }[/math]
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Cayley 图
是一个循环群，阶为 5 。
群表示
五阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^5 \rangle }[/math] 。
性质
- 群
- 五阶群中，幺元以外的四个元素 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4 }[/math] 都是五阶的。
- 是交换群。
- 子群结构
- 自同态结构
- 有五个自同态：选择一个生成元，分别将这个生成元映射到五个元素上，共有 5 种。由于所有元素都是 5 阶，这个过程中其他元素也一定对应地遍历了所有 5 个位置，不存在重复和遗漏。
- 有四个自同构：自同态中去除平凡同态之后为 4 个自同构。在复合运算下，恒等同态是幺元， [math]\displaystyle{ g\mapsto g^4 }[/math] 是二阶元， [math]\displaystyle{ g\mapsto g^2 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^3 }[/math] 是四阶元，因此 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(C_5)\cong C_4 }[/math] 。
| 小群 | |
|---|---|
| 1 | 平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] |
| 2 | 二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| 3 | 三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| 4 | 四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] |
| 5 | 五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| 6 | 六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] |
| 7 | 七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math] |
| 8 | 八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群 |