五阶群

五阶循环群
术语名称	五阶循环群
英语名称	cyclic group of order 5
别名	五阶群, group of order 5

五阶群
对象名称	五阶群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
Latex	C_5
对象类别	群

只有五个元素的集合上，封闭、有幺元、有逆元的五元运算。由于 5 是一个质数，因此只存在循环群一种结构，一般也被称为 5 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] 。

举例

• 模 5 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} }[/math] 。
• 5 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] 。

刻画

五阶群只能是循环群：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另四个可以表达为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4 }[/math] ，且这五个元素其中每个都生成这个群。

五阶群的凯莱表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & a & b & c & d \\ \hline e & e & a & b & c & d \\ a & a & b & c & d & e \\ b & b & c & d & e & a \\ c & c & d & e & a & b \\ d & d & e & a & b & c \\ \end{array} }[/math]

或者用更循环群的 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4, g^5 = e }[/math] 表示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\ \hline e & e & g & g^2 & g^3 & g^4 \\ g & g & g^2 & g^3 & g^4 & e \\ g^2 & g^2 & g^3 & g^4 & e & g \\ g^3 & g^3 & g^4 & e & g & g^2 \\ g^4 & g^4 & e & g & g^2 & g^3 \\ \end{array} }[/math]

五阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^5 \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • 五阶群中，幺元以外的两个元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 都是四阶的。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 只有平凡子群。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群