查看“︁交换图”︁的源代码

[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=图
|eng_name=diagram
|aliases=图表
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{{InfoBox
|name=可交换
|eng_name=commutative
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{{InfoBox
|name=交换图
|eng_name=commutative diagram
|aliases=交换图表
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'''图'''('''diagram''')指是表达[[范畴]]中态射间的关系一种方法，要把[[范畴]]中的对象和态射都画出来。
'''交换图'''('''commutative diagram''')指一个图中，以任意路径走过这些箭头，只要起点终点相同，合成的态射就是相等的。

交换图相当于说明态射在合成下的等值关系。在集合论语境下，交换图即起到类似[[代数学]]中方程的作用。

== 描述 ==

范畴 <math>\mathscr{C}</math> 上的'''图'''('''diagram''') <math>G</math> 是一张'''有向[[图]]'''(directed graph)，其中：
* 结点为范畴中的对象，可重复；
* 边为范畴中的态射或箭头：从结点 <math>A</math> 到结点 <math>B</math> 的有向边 <math>f</math> 对应从对象 <math>A</math> 到对象 <math>B</math> 的某个态射 <math>f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B)</math> ；特别地，单位映射可以作为图中的自环，也可以画成两个相同对象间的箭头；
* 路径为范畴中的态射复合：若从结点 <math>A</math> 到结点 <math>B</math> 的路径依次是有向边 <math>f_1, \dots, f_k</math> ，则这条路径就是复合态射 <math>f_k \dots f_1</math> 。

若图中任意两个顶点间全部的路径所对应的，这两个对象间全部的复合态射，都是相等的，则称这个图'''可交换'''('''is commutative''' / '''commutes''')，或称这个图是'''交换图'''('''commutative diagram''')。

== 重要例子 ==

交换图中最基本的图形有三种，比较常见，如下：

{{GiteaSvg|triangle}}

有时也被称为“三角形(triangle)”，表示 <math>h = g\circ f</math> 。

{{GiteaSvg|square}}

有时也被称为“方形(square)”，表示 <math>j \circ h = g \circ f</math> 。

{{GiteaSvg|composition}}

有时也被称为“合成(composition)”，这种有时会画在一系列态射中间，比如下图所示。

{{GiteaSvg|composition2}}


{{范畴论}}