交换图

可交换
术语名称	可交换
英语名称	commutative

图(diagram)指是表达范畴中态射间的关系一种方法，要把范畴中的对象和态射都画出来。 交换图(commutative diagram)指一个图中，以任意路径走过这些箭头，只要起点终点相同，合成的态射就是相等的。

交换图相当于说明态射在合成下的等值关系。在集合论语境下，交换图即起到类似代数学中方程的作用。

描述

范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 上的图(diagram) [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一张有向图(directed graph)，其中：

结点为范畴中的对象，可重复；
边为范畴中的态射或箭头：从结点 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到结点 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的有向边 [math]\displaystyle{ f }[/math] 对应从对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到对象 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的某个态射 [math]\displaystyle{ f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) }[/math] ；特别地，单位映射可以作为图中的自环，也可以画成两个相同对象间的箭头；
路径为范畴中的态射复合：若从结点 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到结点 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的路径依次是有向边 [math]\displaystyle{ f_1, \dots, f_k }[/math] ，则这条路径就是复合态射 [math]\displaystyle{ f_k \dots f_1 }[/math] 。

若图中任意两个顶点间全部的路径所对应的，这两个对象间全部的复合态射，都是相等的，则称这个图可交换(is commutative / commutes)，或称这个图是交换图(commutative diagram)。

交换图中最基本的图形有三种，比较常见，如下：

有时也被称为“三角形(triangle)”，表示 [math]\displaystyle{ h = g\circ f }[/math] 。

有时也被称为“方形(square)”，表示 [math]\displaystyle{ j \circ h = g \circ f }[/math] 。

有时也被称为“合成(composition)”，这种有时会画在一系列态射中间，比如下图所示。