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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=交换环
|eng_name=commutative ring
}}
'''交换环'''('''commutative ring''')（'''交换幺环'''）是乘法满足[[交换性]]的[[环]]。或者说，其两个运算分别构成[[交换群]]和[[交换幺半群]]，且两运算间满足[[分配律]]。

== 定义 ==

对非空集合 <math>R</math> 及其上的两个二元运算 <math>+,\cdot</math> ，若 <math>\langle R, +, \cdot\rangle</math> 是一个环且 <math>\cdot</math> 满足交换律，

或者说，若其满足以下'''交换环公理'''('''commutative ring axioms''')：

{{InfoBox
|name=零元
|eng_name=zero element
|aliases=零,zero,加法幺元,additive identity
}}
{{InfoBox
|name=负元
|eng_name=negation
|aliases=加法逆元,additive inverse
}}
{{InfoBox
|name=幺元
|eng_name=identity element
|aliases=单位元,identity,乘法幺元,multiplicative identity
}}
* 运算 <math>+</math> 被称为'''加法'''('''addition''')，其使得 <math>\langle R,+ \rangle</math> 构成'''交换群'''('''abelian group''')：
** '''加法结合性'''('''associativity of addition''')：<math>(\forall r,s,t \in R) ((r + s) + t = r + (s + t))</math> ；
** 有'''加法幺元'''('''additive identity''')，称为环中的'''零元'''('''zero element''')或简称'''零'''('''zero''')：<math>(\exists 0_R \in R) (\forall r \in R) (0_R + r = r + 0_R = r)</math> ；
** 有'''加法逆元'''('''additive inverse''')，称为环中的'''负元'''('''negation''')：<math>(\forall r \in R) (\exists s \in G) (r + s = s + r = 0_R)</math> ；
** '''加法交换性'''('''commutativity of addition''')：<math>(\forall r,s \in R) (r + s = s + r)</math> ；
* 运算 <math>\cdot</math> 被称为'''乘法'''('''multiplication''')，其使得 <math>\langle R,\cdot \rangle</math> 构成'''幺半群'''('''monoid''')：
** '''乘法结合性'''('''associativity of multiplication''')：<math>(\forall r,s,t \in R) ((r \cdot s) \cdot t = r \cdot (s \cdot t))</math> ；
** 有'''乘法幺元'''('''multiplicative identity''')，称为环中的'''单位元'''/'''幺元'''('''identity element'''/'''identity''')：<math>(\exists 1_R \in R) (\forall r \in R) (1_R \cdot r = r \cdot 1_R = r)</math> ；
** '''乘法交换性'''('''commutativity of multiplication''')：<math>(\forall r,s \in R) (r \cdot s = s \cdot r)</math> ；
* 乘法对加法满足'''分配性'''('''distributivity''')：<math>(\forall r,s,t \in R)((r + s) \cdot t = r \cdot t + s \cdot t) \land (\forall r,s,t \in R)(t \cdot (r + s) = t \cdot r + t \cdot s)</math> 。

则构成的代数系统 <math>\langle R, +, \cdot, 0_R, 1_R \rangle</math> （或省略幺元和零元写作 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> ）称为一个'''交换环'''('''commutative ring''')。也称集合 <math>R</math> 关于运算 <math>+</math> 和 <math>\cdot</math> 构成一个交换环。

注：由于较为啰唆，封闭性未被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此两个幺元都可以没有歧义地写成 <math>0_R</math> 和 <math>1_R</math> ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 <math>-r</math> 。

注：可以省略元素运算写作 <math>R</math> 。


{{环与模与域}}