交换环
| 交换环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 交换环 |
| 英语名称 | commutative ring |
交换环(commutative ring)（交换幺环）是乘法满足交换性的环。或者说，其两个运算分别构成交换群和交换幺半群，且两运算间满足分配律。
定义
对非空集合 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及其上的两个二元运算 [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \langle R, +, \cdot\rangle }[/math] 是一个环且 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 满足交换律，
或者说，若其满足以下交换环公理(commutative ring axioms)：
| 零元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 零元 |
| 英语名称 | zero element |
| 别名 | 零, zero, 加法幺元, additive identity |
| 负元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 负元 |
| 英语名称 | negation |
| 别名 | 加法逆元, additive inverse |
| 幺元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 幺元 |
| 英语名称 | identity element |
| 别名 | 单位元, identity, 乘法幺元, multiplicative identity |
- 运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 被称为加法(addition)，其使得 [math]\displaystyle{ \langle R,+ \rangle }[/math] 构成交换群(abelian group)：
- 加法结合性(associativity of addition)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R) ((r + s) + t = r + (s + t)) }[/math] ；
- 有加法幺元(additive identity)，称为环中的零元(zero element)或简称零(zero)：[math]\displaystyle{ (\exists 0_R \in R) (\forall r \in R) (0_R + r = r + 0_R = r) }[/math] ；
- 有加法逆元(additive inverse)，称为环中的负元(negation)：[math]\displaystyle{ (\forall r \in R) (\exists s \in G) (r + s = s + r = 0_R) }[/math] ；
- 加法交换性(commutativity of addition)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s \in R) (r + s = s + r) }[/math] ；
- 运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 被称为乘法(multiplication)，其使得 [math]\displaystyle{ \langle R,\cdot \rangle }[/math] 构成幺半群(monoid)：
- 乘法结合性(associativity of multiplication)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R) ((r \cdot s) \cdot t = r \cdot (s \cdot t)) }[/math] ；
- 有乘法幺元(multiplicative identity)，称为环中的单位元/幺元(identity element/identity)：[math]\displaystyle{ (\exists 1_R \in R) (\forall r \in R) (1_R \cdot r = r \cdot 1_R = r) }[/math] ；
- 乘法交换性(commutativity of multiplication)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s \in R) (r \cdot s = s \cdot r) }[/math] ；
- 乘法对加法满足分配性(distributivity)：[math]\displaystyle{ (\forall r,s,t \in R)((r + s) \cdot t = r \cdot t + s \cdot t) \land (\forall r,s,t \in R)(t \cdot (r + s) = t \cdot r + t \cdot s) }[/math] 。
则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle R, +, \cdot, 0_R, 1_R \rangle }[/math] （或省略幺元和零元写作 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] ）称为一个交换环(commutative ring)。也称集合 [math]\displaystyle{ R }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 构成一个交换环。
注：由于较为啰唆，封闭性未被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。
注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此两个幺元都可以没有歧义地写成 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math] 和 [math]\displaystyle{ 1_R }[/math] ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 [math]\displaystyle{ -r }[/math] 。
注：可以省略元素运算写作 [math]\displaystyle{ R }[/math] 。