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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=交换群
|eng_name=abelian group
|aliases=阿贝尔群
}}
'''交换群'''/'''<ins>阿贝尔</ins>群'''('''abelian group''')指一个[[集合]]和其上一个有[[结合性]]、[[交换性]]的二元[[运算]]及其[[幺元]]构成的[[代数系统]]。要求二元运算[[封闭性|封闭]]、可结合、有幺元、所有元素有[[逆元]]、可交换。

== 定义 ==

=== 形式化定义 ===

对集合 <math>G</math> 及其上一个二元运算 <math>+</math> ，若其满足以下'''交换群公理'''('''group axioms''')：

* 集合关于这个运算构成[[群]]：
** '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall g, h \in G) (g + h \in G)</math> ；
** '''结合性'''('''associativity''')：<math>(\forall g,h,k \in G) ((g + h) + k = g + (h + k))</math> ；
** 有'''幺元'''('''identity element''')：<math>(\exists e \in G) (\forall g \in G) (e + g = g + e = g)</math> ；
** 有'''逆元'''('''inverse element''')：<math>(\forall g \in G) (\exists h \in G) (g + h = h + g = e)</math> 。
* '''交换性'''('''communitativity''')：<math>(\forall g, h \in G)(g + h = h + g)</math>

则构成的代数系统 <math>\langle G, +, e \rangle</math> （或省略幺元写作 <math>\langle G,+ \rangle</math> ）称为一个'''交换群'''/'''<ins>阿贝尔</ins>群'''('''abelian group''')。也称集合 <math>G</math> 关于运算 <math>+</math> 构成一个交换群。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此可以没有歧义地写成一个元素 <math>e</math> ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 <math>-g</math> 。

注：可以省略幺元及运算写作 <math>G</math> 。

注：封闭性有时不被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

* 交换群上的运算 <math>+</math> 经常被称为群上的'''加法'''('''addition''')。
* 同一元素的加和 <math>\underbrace{g + \dots + g}_{n}</math> 可以写成'''倍数'''('''multiplication''') <math>n g</math> ，同样地 <math>-ng = \underbrace{(-g) + \dots + (-g)}_{n}</math> 。
* 元素列 <math>g_1, \dots, g_n</math> 的'''累和''' <math>g_1 + \dots + g_n</math> 可以写成 <math>\sum_{i=1}^n g_i</math> 。
* 尽管群中使用乘法及对应符号，交换群中往往使用加法表示群运算，因此应当使用类比于加法的这些记号。

=== 性质描述 ===

* 运算有交换性的群称为交换群。
* 当且仅当若群上的逆 <math>g\mapsto g^{-1}</math> 是一个群自同态，群是一个交换群。
* 当且仅当映射 <math>g\mapsto g^2</math> 是一个群自同态，群是一个交换群。

== 举例 ==

* 整数数集上的加法，其幺元为 0 ，即 <math>\langle \mathbb{Z}, +, 0 \rangle</math> 。
* 非零整数集上的乘法，其幺元为 1 ，即 <math>\langle \mathbb{Z}^{*}, \times, 1 \rangle</math> 。

* 定义了二元运算的[[单点集]]是一个交换群，见[[平凡群]]。
* [[循环群]]。


{{群及相关代数系统}}
{{群论}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

尽管 abelian 来自于人名，这个词不需要额外的首字母大写。