交换群
| 交换群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 交换群 |
| 英语名称 | abelian group |
| 别名 | 阿贝尔群 |
交换群/阿贝尔群(abelian group)指一个集合和其上一个有结合性、交换性的二元运算及其幺元构成的代数系统。要求二元运算封闭、可结合、有幺元、所有元素有逆元、可交换。
定义
形式化定义
对集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] ，若其满足以下交换群公理(group axioms)：
- 集合关于这个运算构成群：
- 封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall g, h \in G) (g + h \in G) }[/math] ；
- 结合性(associativity)：[math]\displaystyle{ (\forall g,h,k \in G) ((g + h) + k = g + (h + k)) }[/math] ；
- 有幺元(identity element)：[math]\displaystyle{ (\exists e \in G) (\forall g \in G) (e + g = g + e = g) }[/math] ；
- 有逆元(inverse element)：[math]\displaystyle{ (\forall g \in G) (\exists h \in G) (g + h = h + g = e) }[/math] 。
- 交换性(communitativity)：[math]\displaystyle{ (\forall g, h \in G)(g + h = h + g) }[/math]
则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle G, +, e \rangle }[/math] （或省略幺元写作 [math]\displaystyle{ \langle G,+ \rangle }[/math] ）称为一个交换群/阿贝尔群(abelian group)。也称集合 [math]\displaystyle{ G }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 构成一个交换群。
注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此可以没有歧义地写成一个元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ；类似地，逆元也可以没有歧义地写成元素 [math]\displaystyle{ -g }[/math] 。
注：可以省略幺元及运算写作 [math]\displaystyle{ G }[/math] 。
注：封闭性有时不被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。
- 交换群上的运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 经常被称为群上的加法(addition)。
- 同一元素的加和 [math]\displaystyle{ \underbrace{g + \dots + g}_{n} }[/math] 可以写成倍数(multiplication) [math]\displaystyle{ n g }[/math] ，同样地 [math]\displaystyle{ -ng = \underbrace{(-g) + \dots + (-g)}_{n} }[/math] 。
- 元素列 [math]\displaystyle{ g_1, \dots, g_n }[/math] 的累和 [math]\displaystyle{ g_1 + \dots + g_n }[/math] 可以写成 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n g_i }[/math] 。
- 尽管群中使用乘法及对应符号，交换群中往往使用加法表示群运算，因此应当使用类比于加法的这些记号。
性质描述
- 运算有交换性的群称为交换群。
- 当且仅当若群上的逆 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^{-1} }[/math] 是一个群自同态，群是一个交换群。
- 当且仅当映射 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^2 }[/math] 是一个群自同态，群是一个交换群。
举例
- 整数数集上的加法，其幺元为 0 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z}, +, 0 \rangle }[/math] 。
- 非零整数集上的乘法，其幺元为 1 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z}^{*}, \times, 1 \rangle }[/math] 。
琐事
名称
尽管 abelian 来自于人名，这个词不需要额外的首字母大写。