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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=代数
|eng_name=algebra
}}
'''<math>R</math>-代数'''('''<math>R</math>-algebra''')指一个[[环]]上具有可以用[[交换环]] <math>R</math> 数乘的结构。
或者说， <math>R</math>-代数是一个 <math>R</math>-[[模]]，但进一步要求其中的交换群是一个环。

环上的代数是[[代数（域）|域上的代数]]的系数在环上的推广。

== 定义 ==

对环 <math>\langle R,{\color{red}+},{\color{red}\cdot} \rangle</math> 和环 <math>\langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle</math> ，若有[[环同态]] <math>\rho: R\times S \to S</math> 满足 <math>\alpha(R)\subset Z(S)</math> （[[中心（环）|中心]]），
则可验证环 <math>\langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle</math> 的加法群 <math>\langle S,{\color{green}+} \rangle</math> 是一个 <math>R</math>-模，此时称环 <math>\langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle</math> 为一个 '''<math>R</math>-代数'''( '''<math>R</math>-algebra''')。

需要注意的是， <math>R</math> 是给定的环，而元素能够与之运算的环 <math>S</math> 才是 <math>R</math>-代数。

== 性质 ==

* <math>(\forall m\in M)(0_R m = 0_M)</math> 。
* <math>(\forall m\in M)((-1_R) m = -m)</math> ，其中两个负号分别是环中和模中的加法逆元。

== 构造 ==

每个环都以唯一一种方式构成一个 <math>\mathbb{Z}</math>-代数。

环同态 <math>\alpha: R\to S</math> ，可以与环中的乘法一起定义成 <math>\rho: R\times S\to S, (r,s) \mapsto rs=\alpha(r)s</math> ，因此 <math>S</math> 是 <math>R</math>-代数。
特别地，如果 <math>S=R</math> 且 <math>\alpha=\mathrm{id}_R: R \to R</math> ，则环是其自身上的一个代数。


{{环与模与域}}