代数（环）
| 代数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 代数 |
| 英语名称 | algebra |
[math]\displaystyle{ R }[/math]-代数([math]\displaystyle{ R }[/math]-algebra)指一个环上具有可以用交换环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 数乘的结构。 或者说， [math]\displaystyle{ R }[/math]-代数是一个 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模，但进一步要求其中的交换群是一个环。
环上的代数是域上的代数的系数在环上的推广。
定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,{\color{red}+},{\color{red}\cdot} \rangle }[/math] 和环 [math]\displaystyle{ \langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle }[/math] ，若有环同态 [math]\displaystyle{ \rho: R\times S \to S }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \alpha(R)\subset Z(S) }[/math] （中心）， 则可验证环 [math]\displaystyle{ \langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle }[/math] 的加法群 [math]\displaystyle{ \langle S,{\color{green}+} \rangle }[/math] 是一个 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模，此时称环 [math]\displaystyle{ \langle S,{\color{green}+},{\color{green}\cdot} \rangle }[/math] 为一个 [math]\displaystyle{ R }[/math]-代数( [math]\displaystyle{ R }[/math]-algebra)。
需要注意的是， [math]\displaystyle{ R }[/math] 是给定的环，而元素能够与之运算的环 [math]\displaystyle{ S }[/math] 才是 [math]\displaystyle{ R }[/math]-代数。
性质
- [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)(0_R m = 0_M) }[/math] 。
- [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)((-1_R) m = -m) }[/math] ，其中两个负号分别是环中和模中的加法逆元。
构造
每个环都以唯一一种方式构成一个 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-代数。
环同态 [math]\displaystyle{ \alpha: R\to S }[/math] ，可以与环中的乘法一起定义成 [math]\displaystyle{ \rho: R\times S\to S, (r,s) \mapsto rs=\alpha(r)s }[/math] ，因此 [math]\displaystyle{ S }[/math] 是 [math]\displaystyle{ R }[/math]-代数。 特别地，如果 [math]\displaystyle{ S=R }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \alpha=\mathrm{id}_R: R \to R }[/math] ，则环是其自身上的一个代数。