查看“︁元组”︁的源代码

[[分类:元组]]{{DEFAULTSORT:yuan2zu3}}
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|keywords=元组, 有序对, n元组, 数学对象
|description=本文介绍元组的定义、特征和表示方法，包括元组的有序性、可重复性和可索引性，有序对作为特殊元组的概念，以及两者的形式化定义。
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|published_time=2023-07-29
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{{InfoBox
|name=元组
|eng_name=tuple
|aliases=组
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|name=元素
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'''元组'''('''tuple''')表示一组有限、有序的对象构成的数学对象。元组中元素顺序固定，且可以重复。

== 定义 ==

由一组有限个数学对象按照特定顺序排列构成的数学对象叫做'''元组'''('''tuple''')，
元组中的每个对象称为该元组的'''元素'''('''element''')。
元组中元素的个数称为元组的'''长度'''('''length''')，长度为 <math>n</math> 的元组被称为 '''<math>n</math>-元组'''('''<math>n</math>-tuple''')。

特别地，长度为 2 的元组称为'''二元组'''('''2-tuple''' / '''couple''')，长度为 3 的元组称为'''三元组'''('''3-tuple''' / '''triple''')，以此类推<ref>英语使用词语类推规律为，一至三可以使用单独词汇： 1-元组用 single 或 singleton ， 2-元组用 couple 或 doublet 或 pair ， 3-元组用 triple 或 triplet ； 4-元组开始用[[拉丁数字前缀]]和后缀 -(u)ple 的组合。</ref>。使用中文大写数字，或使用阿拉伯数字并加连字符都是常见表述；非严格场景中，连字符也可以不写。

在命名中，元组通常简称为'''组'''，特别是在其中元素来自于同一类数学对象时。如数的元组称为'''数组'''。

=== 有序对 ===

{{InfoBox
|name=有序对
|eng_name=ordered pair
|aliases=对,有序偶,序偶
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特别地，二元组也被称为'''有序对'''('''ordered pair''')。

在命名中，有序对通常简称为'''对'''，特别是在其中元素来自于同一类数学对象时。如数的有序对称为'''数对'''，点的有序对称为'''点对'''。

=== 说明 ===

在标准数学体系中，元组通过递归方式定义：先定义二元组，即“有序对”，然后基于二元组定义更高维度的元组，如“形式化定义”一节所示。

在本 wiki 中，为统一术语使用，若上下文对任意长度元组均生效，总是使用“元组”一词，而作为特例的有序对也表达为“二元组”。仅在“数对”、“点对”等这些复合名称中保留“对”的用法。

== 特征 ==

元组具有以下基本特征：
* 有序性：元组中的元素按特定顺序排列，存在先后关系。改变元素序列得到的是不同的元组。
* 可重复：元组中的元素可以重复。
* 可索引：元组中的元素都有确定的位置，与自然数的子集 <math>\{0,1,2,\cdots,n-1\}</math> 一一对应。通常从 1 开始编号，计算机科学也有使用 0 开始的惯例。

两个元组相等当且仅当它们长度相同，且每个对应位置上的元素相等。

== 表示 ==

由 <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math> 构成的 <math>n</math> 元组通常记为 <math>(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> ，也有人记作 <math>\langle a_1, a_2, \dots, a_n \rangle</math> 。

注：虽然有时也使用尖括号，但为保持一致性，本 wiki 统一使用圆括号表示元组（包括有序对）。

== 形式化定义 ==

一般将由元素 <math>a,b</math> 构成的二元组 <math>(a,b)</math> 形式化地定义为集合 <math>\{\{a\}, \{a, b\}\}</math> 。（称为 Kuratowski 定义）另一种较少使用的二元组定义是 Wiener 定义 <math>\{\{\{a\},\varnothing\},\{\{b\}\}\}</math> 。其他构造也存在。

元组通常定义为有序对的递归，即将三元组 <math>(a,b,c)</math> 定义为 <math>((a, b), c)</math> 、四元组 <math>(a,b,c,d)</math> 定义为 <math>(((a,b),c),d)</math> ，以此类推。也有文献定义为 <math>(a, (b, c))</math> 、 <math>(a, (b, (c,d)))</math> 并以此类推。


{{元组}}
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