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[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:chong1fen4tiao2jian4bi4yao4tiao2jian4}}
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|keywords=充分条件, 必要条件, 充要条件, 充分必要条件, 充分性, 必要性
|description=充分条件、必要条件和充要条件是命题逻辑中的核心概念：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充要条件。这些概念是逻辑推理和数学证明的基础。
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|published_time=2023-09-08
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在两个[[命题]]的[[重言蕴涵]]中，前件称为后件的'''充分条件'''('''sufficient condition''')，后件称为前件的'''必要条件'''('''necessary condition''')；
若一个命题既是另一个命题的充分条件，也是其必要条件，称为其'''充分必要条件'''，简称'''充要条件'''。

== 定义 ==
若两命题 <math>p</math> 和 <math>q</math> 间存在重言蕴涵 <math>p\Rightarrow q</math> ，称：
* <math>p</math> 为 <math>q</math> 的'''充分条件'''（<math>p</math> is a '''sufficient condition''' for <math>q</math> / <math>p</math> is '''sufficient''' for <math>q</math>）；
* <math>q</math> 为 <math>p</math> 的'''必要条件'''（<math>q</math> is a '''necessary condition''' for <math>p</math> / <math>q</math> is '''necessary''' for <math>p</math>）。

是否构成一个充分条件或必要条件分别被称为其'''充分性'''('''sufficiency''')和'''必要性'''('''necessity''')。

若 <math>p</math> 既是 <math>q</math> 的充分条件，也是 <math>q</math> 的必要条件，即两命题存在[[等值（逻辑）|重言等价]]时，称 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''('''necessary and sufficient condition''')，简称'''充要条件'''。
此时， <math>q</math> 也是 <math>p</math> 的充要条件。

注：判断充分条件、必要条件本身是对命题为真或为假的说明，按 [[Tarski 真理定义]]对语言分层的处理，属于[[元语言]]而非对象语言本身所在的对象语言，因此也只能依赖重言蕴涵和重言等价这两个元语言谓词。

== 条件关系分类 ==

根据充分性和必要性，两个命题之间的关系可以被分类为：
* 一个命题是另一个命题的'''充要条件''' <math>p\Rightarrow q, q\Rightarrow p</math> ；
* 一个命题是另一个命题的'''充分不必要条件''' <math>p\Rightarrow q, q\nRightarrow p</math> ；
* 一个命题是另一个命题的'''必要不充分条件''' <math>p\nRightarrow q, q\Rightarrow p</math> ；
* 一个命题是另一个命题的'''既不充分也不必要条件''' <math>p\nRightarrow q, q\nRightarrow p</math> 。


{{命题逻辑}}