查看“︁全关系”︁的源代码

[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:quan2guan1xi5}}
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|keywords=全关系, 全域关系
|description=本文介绍全关系的定义、基本性质及其在关系运算中的特殊地位，包括全关系在交、并、补运算中的性质及其在图和矩阵表示中的特征。
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|published_time=2023-04-22
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{{InfoBox
|name=全关系
|eng_name=universal relation
|aliases=全域关系
}}
'''全关系'''('''universal relation''')是指一个 <math>n</math> 元[[关系]]，作为[[集合]]间[[笛卡尔积]]的一个[[子集]]和笛卡尔积本身相等。也就是说，全关系是关系中这几个集合间所有可能[[有序对]]的一个[[全集]]。

== 定义 ==

{{Identity
|name=全关系
|type=关系
}}
对集合 <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math> 上的关系 <math>R</math>，若 <math>R=A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n</math> ，称 <math>R</math> 是一个'''全关系'''('''universal relation''')。

== 性质 ==

=== 通用性质 ===
* 对任意 <math>a_1 \in A_1, a_2\in A_2, \cdots, a_n\in A_n</math> ，有 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in R</math> 。
* 全关系是给定域上关系的全集：
** 在[[交关系|关系的交运算]]中是[[零元]]；
** 在[[并关系|关系的并运算]]中是[[幺元]]；
** 与[[空关系]][[补关系|互补]]。

=== 二元关系中的特有性质 ===
* 表示
** 全关系作为齐次关系时，关系图是[[有向完全图]]，且每个顶点上都有自环；作为非齐次关系时，关系图是有向[[完全二部图]]。
** 全关系的关系矩阵是[[全一矩阵]]；
* 运算性质
** 全关系的[[对偶关系]]仍是全关系；
** 全关系在与任意关系的左[[复合（关系）|复合]]和右复合中都是幺元。
** 齐次的全关系的[[幂关系|幂]]是全关系。
* 全关系符合的二元关系性质：
** [[自反关系]]
** [[对称关系]]
** [[传递关系]]
** 是一种[[等价关系]]。在全关系中，每个等价类都是原集合本身，每个元素和集合内任意一个元素都等价，是最“粗”的等价关系。


{{关系}}

== 琐事 ==

=== 名称翻译 ===

术语 complete relation / total relation 的原文更逐字地接近“全关系”这一名称，有的材料将其翻译成“全关系”，而将 universal relation 翻译成“全域关系”。
但是中文语境中，一般说到全关系，默认指的是“全集”的“全”(universal)，而不是“全序”的“全”(total)，换句话说默认指 universal relation 。
本 wiki 统一将“universal relation”翻译为“全关系”，将“complete relation”和“total relation”翻译为“完全关系”。