全关系

全关系
术语名称	全关系
英语名称	connected relation
别名	完全关系, complete relation, total relation

全关系(total relation)是指一个二元关系中，任何一对不同元素都有或正或反的关系，不可以两方面都没有关系。

有的材料将 universal relation 翻译成“全关系”，与 connected/complete/total relation 的常见译名重名了。 对于 universal relation ，参见全域关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \neq b \rightarrow a R b \lor b R a) }[/math]，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个全关系(connected/complete/total relation)，也称这一关系是完全的(connnected/complete/total)。

性质

对二元关系：

全关系的关系矩阵不存在非对角线的对称位置同时为 0 的情况。

对任意 [math]\displaystyle{ x \in X, y\in Y }[/math] 有 [math]\displaystyle{ x R y }[/math]。

全关系的补关系是反对称关系。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]