全关系

全关系
术语名称	全关系
英语名称	universal relation
别名	全域关系

全关系(universal relation)是指一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系，作为集合间笛卡尔积的一个子集和笛卡尔积本身相等。也就是说，全关系是关系中这几个集合间所有可能有序对的一个全集。

定义

全关系
对象名称	全关系
对象记号
Latex
对象类别	关系

对集合 [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\dots,A_n }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ R=A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个全关系(universal relation)。

性质

通用性质

• 对任意 [math]\displaystyle{ a_1 \in A_1, a_2\in A_2, \cdots, a_n\in A_n }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) \in R }[/math] 。
• 全关系是给定域上关系的全集：
  • 在关系的交运算中是零元；
  • 在关系的并运算中是幺元；
  • 与空关系互补。

二元关系中的特有性质

• 表示
  • 全关系作为齐次关系时，关系图是有向完全图，且每个顶点上都有自环；作为非齐次关系时，关系图是有向完全二部图。
  • 全关系的关系矩阵是全一矩阵；
• 运算性质
  • 全关系的对偶关系仍是全关系；
  • 全关系在与任意关系的左复合和右复合中都是幺元。
  • 齐次的全关系的幂是全关系。
• 全关系符合的二元关系性质：
  • 自反关系
  • 对称关系
  • 传递关系
  • 是一种等价关系。在全关系中，每个等价类都是原集合本身，每个元素和集合内任意一个元素都等价，是最“粗”的等价关系。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

琐事

名称翻译

术语 complete relation / total relation 的原文更逐字地接近“全关系”这一名称，有的材料将其翻译成“全关系”，而将 universal relation 翻译成“全域关系”。 但是中文语境中，一般说到全关系，默认指的是“全集”的“全”(universal)，而不是“全序”的“全”(total)，换句话说默认指 universal relation 。 本 wiki 统一将“universal relation”翻译为“全关系”，将“complete relation”和“total relation”翻译为“完全关系”。