查看“︁八进制”︁的源代码

[[分类:记数系统]]
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'''八进制'''('''octal''', '''base-2''', 缩写为 '''oct''')记数系统指基数为 8 的[[进位制记数法]]。是指通过 0~7 八个符号表达数值的满八进一的记数方法。

由于八进制可以作为二进制的缩写，计算机科学有时会使用八进制表达二进制数据。

== 定义 ==

基数为 8 的进位制记数法称为'''八进制记数法'''('''octal numeral system''', '''base-8 numeral system''', 简称 '''octal''', '''base-8''')。

八进制记数法下的数称为'''八进制数'''('''octal number''')。

类似地，“八进制系统相关的”往往使用'''八进制的'''('''octal''', 常缩写为 '''oct''', 或 '''base-8''')作为前缀。

== 表示 ==

八进制中的每一位只含有 <math>0,1,2,\cdots,7</math> 八个符号。在写成数形式时，遵从进位制记数法的一般规则，由权重更高的位到权重更低的位写成一串，且存在小数部分时在位权为 <math>8^0=1</math> 的位后添加小数点。

若需要指出具体进制时，可使用一般的添加进制下标的形式，即 <math>357_8</math> 或 <math>(357)_2</math> 。也有人使用缩写下标或后缀，即 <math>1001100_\mathrm{oct}</math> 或 <math>1001100\mathrm{o}</math> 。

在[[编程语言]]，特别是受到 [[C 语言]]影响的编程语言中，二进制数通常加前缀 <code>0</code> 、 <code>0o</code> 或 <code>0O</code> ，即 <code>0357</code> 。

=== 使用 ===

在现代计算机相关领域，八进制有时用于表达一个[[字节]]数据，此时八位组会被分为 2 + 3 + 3 的三组表达为八进制位。八进制位受到编程语言的广泛特殊支持是因为曾经有[[字]]长为 6 、 12 、 24 、 36 等的计算机系统。由于后续存储长度多逐渐变为按照 8 个二进制位划分，八进制表达内存的地位逐渐被[[十六进制]]取代。

== 数值及表示 ==

=== 位权 ===

对八进制数，其小数点前的数位的位权为 1 ，向高位依次为 <math>8,8^2,8^3,\cdots</math> 。

如果存在小数部分，则向低位也依次为 <math>8^{-1},8^{-2},8^{-3},\cdots</math> 。

=== 八进制转换为十进制 ===

计算一个八进制数的十进制表示时，可以通过计算对应位权相加的方式，即 <math>a_n 2^n + a_{n-1} 2^{n-1} + \cdots + a_1 2^1 + a_0</math> ，也可以通过 [[Hornor 法则]]将其看作多项式求值 <math>((\cdots(a_n x + a_{n-1}) x + \cdots + a_1) x + a_0) \mid_{x=8}</math> 。

=== 十进制转换为八进制 ===

计算一个十进制数的二进制表示时有两种常见办法。

短除法：不断对 8 做带余除法，将余数作为得到的位，商继续循环，直到 0 为止。余数从最低位依次到最高位排列。

=== 二进制转换为八进制 ===

因为 8 本身是 2 的幂，这使得二进制-八进制混合进制是 2 进制本身。将一个二进制数按照位权为 1 的数位对齐的方式划分成 3 个一组的形式，则新的形式就可以看成一个八进制数，且其中每一位数都进一步地通过 3 位二进制数表示。将这些二进制数表示对应地换成八进制中的符号，就得到了对应整个数的八进制表示。

=== 八进制转换为二进制 ===

以上过程的逆过程，将八进制数每一位上的符号替换为 3 位二进制数，就得到了一个被 3 位分隔的二进制数。

=== 一些常见数值表示 ===

对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。

{| class='wikitable' style='width: 100%'
|-
! 整数（十进制） !! 整数（八进制） !! 分数（十进制） !! 小数（八进制）
|-
| 1 || 1 || 1/1 || 1
|-
| 2 || 2 || 1/2 || 0.4
|-
| 3 || 3 || 1/3 || <math>0.\overline{25}</math>
|-
| 4 || 4 || 1/4 || 0.2
|-
| 5 || 5 || 1/5 || <math>0.\overline{1463}</math>
|-
| 6 || 6 || 1/6 || <math>0.1\overline{25}</math>
|-
| 7 || 7 || 1/7 || <math>0.\overline{1}</math>
|-
| 8 || 10 || 1/8 || 0.1
|-
| 9 || 11 || 1/9 || <math>0.\overline{07}</math>
|-
| 10 || 12 || 1/10 || <math>0.0\overline{6314}</math>
|-
| 11 || 13 || 1/11 || <math>0.\overline{0564272135}</math>
|-
| 12 || 14 || 1/12 || <math>0.0\overline{52}</math>
|-
| 13 || 15 || 1/13 || <math>0.\overline{0473}</math>
|-
| 14 || 16 || 1/14 || <math>0.0\overline{4}</math>
|-
| 15 || 17 || 1/15 || <math>0.\overline{0421}</math>
|-
| 16 || 20 || 1/16 || 0.04
|}


{{记数法}}