八进制

八进制
术语名称	八进制
英语名称	octal numeral system
别名	base-8 numeral system

八进制的
术语名称	八进制的
英语名称	octal
别名	base-8, oct

八进制数
术语名称	八进制数
英语名称	octal number

八进制(octal, base-2, 缩写为 oct)记数系统指基数为 8 的进位制记数法。是指通过 0~7 八个符号表达数值的满八进一的记数方法。

由于八进制可以作为二进制的缩写，计算机科学有时会使用八进制表达二进制数据。

定义

基数为 8 的进位制记数法称为八进制记数法(octal numeral system, base-8 numeral system, 简称 octal, base-8)。

八进制记数法下的数称为八进制数(octal number)。

类似地，“八进制系统相关的”往往使用八进制的(octal, 常缩写为 oct, 或 base-8)作为前缀。

表示

八进制中的每一位只含有 [math]\displaystyle{ 0,1,2,\cdots,7 }[/math] 八个符号。在写成数形式时，遵从进位制记数法的一般规则，由权重更高的位到权重更低的位写成一串，且存在小数部分时在位权为 [math]\displaystyle{ 8^0=1 }[/math] 的位后添加小数点。

若需要指出具体进制时，可使用一般的添加进制下标的形式，即 [math]\displaystyle{ 357_8 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (357)_2 }[/math] 。也有人使用缩写下标或后缀，即 [math]\displaystyle{ 1001100_\mathrm{oct} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ 1001100\mathrm{o} }[/math] 。

在编程语言，特别是受到 C 语言影响的编程语言中，二进制数通常加前缀 0 、 0o 或 0O ，即 0357 。

使用

在现代计算机相关领域，八进制有时用于表达一个字节数据，此时八位组会被分为 2 + 3 + 3 的三组表达为八进制位。八进制位受到编程语言的广泛特殊支持是因为曾经有字长为 6 、 12 、 24 、 36 等的计算机系统。由于后续存储长度多逐渐变为按照 8 个二进制位划分，八进制表达内存的地位逐渐被十六进制取代。

数值及表示

位权

对八进制数，其小数点前的数位的位权为 1 ，向高位依次为 [math]\displaystyle{ 8,8^2,8^3,\cdots }[/math] 。

如果存在小数部分，则向低位也依次为 [math]\displaystyle{ 8^{-1},8^{-2},8^{-3},\cdots }[/math] 。

八进制转换为十进制

计算一个八进制数的十进制表示时，可以通过计算对应位权相加的方式，即 [math]\displaystyle{ a_n 2^n + a_{n-1} 2^{n-1} + \cdots + a_1 2^1 + a_0 }[/math] ，也可以通过 Hornor 法则将其看作多项式求值 [math]\displaystyle{ ((\cdots(a_n x + a_{n-1}) x + \cdots + a_1) x + a_0) \mid_{x=8} }[/math] 。

十进制转换为八进制

计算一个十进制数的二进制表示时有两种常见办法。

短除法：不断对 8 做带余除法，将余数作为得到的位，商继续循环，直到 0 为止。余数从最低位依次到最高位排列。

二进制转换为八进制

因为 8 本身是 2 的幂，这使得二进制-八进制混合进制是 2 进制本身。将一个二进制数按照位权为 1 的数位对齐的方式划分成 3 个一组的形式，则新的形式就可以看成一个八进制数，且其中每一位数都进一步地通过 3 位二进制数表示。将这些二进制数表示对应地换成八进制中的符号，就得到了对应整个数的八进制表示。

八进制转换为二进制

以上过程的逆过程，将八进制数每一位上的符号替换为 3 位二进制数，就得到了一个被 3 位分隔的二进制数。

一些常见数值表示

对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。

整数（十进制）	整数（八进制）	分数（十进制）	小数（八进制）
1	1	1/1	1
2	2	1/2	0.4
3	3	1/3	[math]\displaystyle{ 0.\overline{25} }[/math]
4	4	1/4	0.2
5	5	1/5	[math]\displaystyle{ 0.\overline{1463} }[/math]
6	6	1/6	[math]\displaystyle{ 0.1\overline{25} }[/math]
7	7	1/7	[math]\displaystyle{ 0.\overline{1} }[/math]
8	10	1/8	0.1
9	11	1/9	[math]\displaystyle{ 0.\overline{07} }[/math]
10	12	1/10	[math]\displaystyle{ 0.0\overline{6314} }[/math]
11	13	1/11	[math]\displaystyle{ 0.\overline{0564272135} }[/math]
12	14	1/12	[math]\displaystyle{ 0.0\overline{52} }[/math]
13	15	1/13	[math]\displaystyle{ 0.\overline{0473} }[/math]
14	16	1/14	[math]\displaystyle{ 0.0\overline{4} }[/math]
15	17	1/15	[math]\displaystyle{ 0.\overline{0421} }[/math]
16	20	1/16	0.04

记数系统
位值制记数法	进位制记数法/标准位值制记数法（进制）		二进制、八进制、十进制、十六进制、……
	非标准位值制记数法	带符号进位制记数法/ 平衡记数法（平衡进制）	平衡三进制、……
		双射记数法（双射进制）	一进制、双射十进制、双射二十六进制、……
		位权是幂但基数不是自然数（非自然数进制）	[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、……
			[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、……
			[math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、……
		位权不是幂（混合进制）	二五混合进制、阶乘进制、……
		其他	[math]\displaystyle{ p }[/math]-进数
		其他	质数记数法、……
符值制记数法			罗马记数法、希腊记数法、……