八进制
| 八进制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 八进制 |
| 英语名称 | octal numeral system |
| 别名 | base-8 numeral system |
| 八进制的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 八进制的 |
| 英语名称 | octal |
| 别名 | base-8, oct |
| 八进制数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 八进制数 |
| 英语名称 | octal number |
八进制(octal, base-8, 缩写为 oct)记数系统指基数为 8 的进位制记数法。是指通过 0~7 八个符号表达数值的满八进一的记数方法。
由于八进制可以作为二进制的缩写，计算机科学有时会使用八进制表达二进制数据。
定义
基数为 8 的进位制记数法称为八进制记数法(octal numeral system, base-8 numeral system, 简称 octal, base-8)。
八进制记数法下的数称为八进制数(octal number)。
类似地，“八进制系统相关的”往往使用八进制的(octal, 常缩写为 oct, 或 base-8)作为前缀。
表示
八进制中的每一位只含有 [math]\displaystyle{ 0,1,2,\cdots,7 }[/math] 八个符号。在写成数形式时，遵从进位制记数法的一般规则，由权重更高的位到权重更低的位写成一串，且存在小数部分时在位权为 [math]\displaystyle{ 8^0=1 }[/math] 的位后添加小数点。
若需要指出具体进制时，可使用一般的添加进制下标的形式，即 [math]\displaystyle{ 357_8 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (357)_8 }[/math] 。也有人使用缩写下标或后缀，即 [math]\displaystyle{ 357_\mathrm{oct} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ 357\mathrm{o} }[/math] 。
在编程语言，特别是 C 风格语言中，八进制数通常加前缀 0 、 0o 或 0O ，即 0357 。在 C 语言本身只有前一种，考虑到和其他进制前缀的对称，以及在普通十进制数字前误加 0 会改变进制这点有些违背直觉和数学习惯，继承使用这个系列前缀的现代语言通常会引入 0o 或 0O 作为八进制更推荐的前缀。在 BASIC 风格语言中，八进制数通常加前缀 &O ，即 &O357 。
使用
在现代计算机相关领域，八进制有时用于表达一个字节数据，此时八位组会被分为 2 + 3 + 3 的三组表达为八进制形式。早期曾经有字长为 6 、 12 、 24 、 36 等 3 的倍数的计算机系统，其中数据通过八进制紧凑表示，因此八进制位受到早期编程语言的特殊支持，而这种表示不断被新语言继承，因此广泛存在于编程语言中。只是由于后续存储长度多逐渐变为按照 8 个二进制位划分， 8 并不是 3 的倍数，十六进制紧凑表示成为主流，因此八进制表达内存的地位逐渐被十六进制取代。
数值及转换
转换工具
使用工具站中的进制转换器：点此使用进制转换器。
位权
对八进制数，其小数点前的最低位，或直接称为最低位，位权为 1 ，向高位依次为 [math]\displaystyle{ 8,8^2,8^3,\cdots }[/math] 。
如果存在小数部分，则向低位也依次为 [math]\displaystyle{ 8^{-1},8^{-2},8^{-3},\cdots }[/math] 。
八进制转换为十进制
计算一个八进制数的十进制表示时，可以通过计算对应位权相加的方式，即 [math]\displaystyle{ a_n 8^n + a_{n-1} 8^{n-1} + \cdots + a_1 8^1 + a_0 }[/math] ，也可以通过秦九韶算法将其看作多项式求值 [math]\displaystyle{ ((\cdots(a_n x + a_{n-1}) x + \cdots + a_1) x + a_0) \mid_{x=8} }[/math] 。
十进制转换为八进制
短除法：不断对 8 做带余除法，将余数作为得到的位，商继续循环，直到 0 为止。余数从最低位依次到最高位排列。
二进制转换为八进制
因为 8 本身是 2 的幂，因此可以通过简单分组方式进行转换。将一个二进制数按照位权为 1 的数位对齐的方式划分成 3 个一组的形式，则新的形式就可以看成一个八进制数，且其中每一位数都进一步地通过 3 位二进制数表示。将这些二进制数表示对应地换成八进制中的符号，就得到了对应整个数的八进制表示。
八进制转换为二进制
以上过程的逆过程，将八进制数每一位上的符号替换为 3 位二进制数，就得到了一个被 3 位分隔的二进制数。
一些常见数值表示
对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。
| 整数（十进制） | 整数（八进制） | 分数（十进制） | 小数（八进制） |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1/1 | 1 |
| 2 | 2 | 1/2 | 0.4 |
| 3 | 3 | 1/3 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{25} }[/math] |
| 4 | 4 | 1/4 | 0.2 |
| 5 | 5 | 1/5 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{1463} }[/math] |
| 6 | 6 | 1/6 | [math]\displaystyle{ 0.1\overline{25} }[/math] |
| 7 | 7 | 1/7 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{1} }[/math] |
| 8 | 10 | 1/8 | 0.1 |
| 9 | 11 | 1/9 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{07} }[/math] |
| 10 | 12 | 1/10 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{6314} }[/math] |
| 11 | 13 | 1/11 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0564272135} }[/math] |
| 12 | 14 | 1/12 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{52} }[/math] |
| 13 | 15 | 1/13 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0473} }[/math] |
| 14 | 16 | 1/14 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{4} }[/math] |
| 15 | 17 | 1/15 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0421} }[/math] |
| 16 | 20 | 1/16 | 0.04 |
| 记数系统 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 位值制 记数法 |
进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | ||
| 非标准 位值制 记数法 |
符号数字 进位制记数法 |
平衡进位制记数法 （平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射进位制记数法 （双射进制） |
双射十进制、双射二十六进制、…… | |||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | ||||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | ||||
| 位权不是幂 | 存在基数 （混合进制） |
二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 广义位值制记数法 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | |||
| 质数记数法、…… | ||||
| 符值制记数法 | （双射）一进制、罗马记数法、希腊记数法、…… | |||