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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=六阶循环群
|eng_name=cyclic group of order 6
}}
{{Identity
|name=六阶群
|type=群
|symbol=<math>C_6</math>
|latex=C_6
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{{#seo:
|keywords=六阶循环群
|description=六元素集上构成的群有两种，其一是循环群，即六阶循环群。六阶循环群是二阶循环群和三阶循环群的直积。
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|published_time=2024-10-11
}}
只有六个元素的[[集合]]上的循环群，一般也被称为''' 6 阶循环群''' <math>C_6</math> 。

== 举例 ==

* 模 6 加法群 <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> 。
* 6 阶循环群 <math>C_6</math> 。即将一周分为 6 分的旋转。
* [[二阶群]]和[[三阶群]]的[[群直积]]。

== 刻画 ==

六阶群中：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另四个可以表达为 <math>g, g^2, g^3, g^4, g^5</math> 。

=== Cayley 表 ===

可以按照旋转循环形式可视化为：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>C_5</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
! 1/6周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
! 1/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
! 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
! 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
|-
! 1/6周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^6=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
|-
! 1/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^6=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r^7=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
|-
! 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^6=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r^7=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^8=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
|-
! 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^6=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r^7=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^8=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^9=r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
|-
! 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 5/6周旋转 <br/> <math>r^5</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x5}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^6=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_e}}
| 1/6周旋转 <br/> <math>r^7=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x}}
| 1/3周旋转 <br/> <math>r^8=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^9=r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x3}}
| 2/3周旋转 <br/> <math>r^{10}=r^4</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c6_x4}}
|}

=== Cayley 图 ===

是一个循环群，阶为 6 。

{{GiteaSvg|groups/c6_graph}}

考虑二阶元 <math>x^3</math> 和三阶元 <math>x^2</math> 分别的结构。
是如下图的正三棱柱，包含两个类似 <math>C_3</math> 的结构，且两个结构间对应地位的元素通过完全相同的 <math>C_2</math> 结构关联，这也可以说明其同构于 <math>C_3\times C_2</math> 。
但是由于两侧的结构相同，也就是同一个平行四边形侧面中两个元素总是可以交换的，那么对角线上的洋红色箭头一定可以遍历全部结点，所以会成为一个生成元，导致整体结构是一个循环群。

{{GiteaSvg|groups/c6_graph_3x2}}

=== 群表示 ===

六阶群的[[群表示]]为 <math>\langle x\mid x^6 \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 六阶群中，有 1 个 1 阶元、 1 个 2 阶元、 2 个 3 阶元、 2 个 6 阶元。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：除平凡子群外，还有一个二阶子群 <math>\{e,g^3\}</math> 和一个三阶子群 <math>\{e,g^2,g^4\}</math> 。
** [[正规子群]]：交换群的子群都是正规子群，以上四个子群均正规。
** [[商群]]：对平凡子群做商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。对二阶子群的商群是三阶循环群，对三阶子群的商群是二阶循环群。
* 自同态结构
** 有六个[[群自同态|自同态]]：对六阶生成元，分别将这个生成元映射到六个元素上，共有 6 种。
** 有两个[[群自同构|自同构]]：自同态中只有恒等同态和 <math>g\mapsto g^5=g^{-1}</math> 的是 2 个自同构。在复合运算下，恒等同态是幺元， <math>g\mapsto g^5 = g^{-1}</math> 是二阶元， <math>\mathrm{Aut}(C_6)\cong C_2</math> 。


{{小阶数群}}