六阶循环群

六阶循环群
术语名称	六阶循环群
英语名称	cyclic group of order 6

六阶群
对象名称	六阶群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_6 }[/math]
Latex	C_6
对象类别	群

只有六个元素的集合上的循环群，一般也被称为 6 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 。

举例

• 模 6 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] 。
• 6 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 。
• 二阶群和三阶群的群直积。

刻画

六阶群中：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另四个可以表达为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4, g^5 }[/math] 。

六阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^6 \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • 六阶群中，有 1 个 1 阶元、 1 个 2 阶元、 2 个 3 阶元、 2 个 6 阶元。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 有一个二阶子群 [math]\displaystyle{ \{e,g^3\} }[/math] 和一个三阶子群 [math]\displaystyle{ \{e,g^2,g^4\} }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群