六阶循环群

六阶循环群
术语名称	六阶循环群
英语名称	cyclic group of order 6

六阶群
对象名称	六阶群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_6 }[/math]
Latex	`C_6`
对象类别	群

只有六个元素的集合上的循环群，一般也被称为 6 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 。

举例

模 6 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] 。
6 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 。即将一周分为 6 分的旋转。
二阶群和三阶群的群直积。

刻画

六阶群中：

幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
另四个可以表达为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4, g^5 }[/math] 。

Cayley 表

可以按照旋转循环形式可视化为：

[math]\displaystyle{ C_5 }[/math] 群表
复合	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]
恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]
1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^6=i }[/math]
1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^6=i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r }[/math]
1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^6=i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^8=r^2 }[/math]
2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^4 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^6=i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^8=r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^9=r^3 }[/math]
5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	5/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^5 }[/math]	恒等变换 [math]\displaystyle{ r^6=i }[/math]	1/6周旋转 [math]\displaystyle{ r^7=r }[/math]	1/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^8=r^2 }[/math]	1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^9=r^3 }[/math]	2/3周旋转 [math]\displaystyle{ r^{10}=r^4 }[/math]

Cayley 图

是一个循环群，阶为 6 。

考虑二阶元 [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] 和三阶元 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] 分别的结构。是如下图的正三棱柱，包含两个类似 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] 的结构，且两个结构间对应地位的元素通过完全相同的 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 结构关联，这也可以说明其同构于 [math]\displaystyle{ C_3\times C_2 }[/math] 。但是由于两侧的结构相同，也就是同一个平行四边形侧面中两个元素总是可以交换的，那么对角线上的洋红色箭头一定可以遍历全部结点，所以会成为一个生成元，导致整体结构是一个循环群。

群表示

六阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x\mid x^6 \rangle }[/math] 。

性质

群
- 六阶群中，有 1 个 1 阶元、 1 个 2 阶元、 2 个 3 阶元、 2 个 6 阶元。
- 是交换群。
子群结构
- 子群分布：除平凡子群外，还有一个二阶子群 [math]\displaystyle{ \{e,g^3\} }[/math] 和一个三阶子群 [math]\displaystyle{ \{e,g^2,g^4\} }[/math] 。
- 正规子群：交换群的子群都是正规子群，以上四个子群均正规。
- 商群：对平凡子群做商得到平凡商群，分别为自身和平凡群。对二阶子群的商群是三阶循环群，对三阶子群的商群是二阶循环群。
自同态结构
- 有六个自同态：对六阶生成元，分别将这个生成元映射到六个元素上，共有 6 种。
- 有两个自同构：自同态中只有恒等同态和 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^5=g^{-1} }[/math] 的是 2 个自同构。在复合运算下，恒等同态是幺元， [math]\displaystyle{ g\mapsto g^5 = g^{-1} }[/math] 是二阶元， [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(C_6)\cong C_2 }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群