查看“︁典范分解（环同态）”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=典范分解
|eng_name=canonical decomposition
}}
[[环同态]]的'''典范分解'''('''canonical decomposition''')是加法群[[群同态]]上的[[典范分解（群同态）|典范分解]]，对于环同态分解的结果一定也是环同态。对任意环同态，结构上可以被分为三步：将定义域按像的异同[[划分]]、分别对应到像、[[包含映射]]到陪域。

== 定义 ==

对环同态 <math>\varphi :R\to R'</math> ，则加法群同态对应的[[同余关系（代数系统）|同余关系]] <math>r_1 \sim r_2 \leftrightarrow \varphi(r_1)=\varphi(r_2)</math> 划分的全体同余类就是 <math>R/\ker\varphi</math> ，其中 <math>\ker\varphi</math> 是加法群同态的[[同态核]]，有：

<math>\varphi = \iota \circ \tilde{\varphi} \circ \pi</math>

或者说

<math>R \twoheadrightarrow (R/\ker\varphi) \xrightarrow[\varphi]{\sim} \operatorname{im} \varphi \hookrightarrow R'</math>

其中按复合顺序的三个映射都是环同态，分别为：
* <math>\pi</math> ：[[自然同态]]，满同态。从定义域 <math>R</math> 到[[商环]] <math>R/\ker\varphi</math> ，将全部像相同的元素映射到同一个同余类。
* <math>\tilde{\varphi}</math> ：[[环同构|同构]]。从商环 <math>R/\ker\varphi</math> 到[[同态像]] <math>\operatorname{im}\varphi</math> ，把每个像相同的同余类映射到值域里所对应的像中。
* <math>\iota</math> ：[[包含同态]]，单同态。把同态像 <math>\operatorname{im}\varphi</math> 嵌入陪域环 <math>R'</math> 。


{{群论}}