典范分解（环同态）
| 典范分解 | |
|---|---|
| 术语名称 | 典范分解 |
| 英语名称 | canonical decomposition |
环同态的典范分解(canonical decomposition)是加法群群同态上的典范分解，对于环同态分解的结果一定也是环同态。对任意环同态，结构上可以被分为三步：将定义域按像的异同划分、分别对应到像、包含映射到陪域。
定义
对环同态 [math]\displaystyle{ \varphi :R\to R' }[/math] ，则加法群同态对应的同余关系 [math]\displaystyle{ r_1 \sim r_2 \leftrightarrow \varphi(r_1)=\varphi(r_2) }[/math] 划分的全体同余类就是 [math]\displaystyle{ R/\ker\varphi }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \ker\varphi }[/math] 是加法群同态的同态核，有：
[math]\displaystyle{ \varphi = \iota \circ \tilde{\varphi} \circ \pi }[/math]
或者说
[math]\displaystyle{ R \twoheadrightarrow (R/\ker\varphi) \xrightarrow[\varphi]{\sim} \operatorname{im} \varphi \hookrightarrow R' }[/math]
其中按复合顺序的三个映射都是环同态，分别为：
- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ：自然同态，满同态。从定义域 [math]\displaystyle{ R }[/math] 到商环 [math]\displaystyle{ R/\ker\varphi }[/math] ，将全部像相同的元素映射到同一个同余类。
- [math]\displaystyle{ \tilde{\varphi} }[/math] ：同构。从商环 [math]\displaystyle{ R/\ker\varphi }[/math] 到同态像 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}\varphi }[/math] ，把每个像相同的同余类映射到值域里所对应的像中。
- [math]\displaystyle{ \iota }[/math] ：包含同态，单同态。把同态像 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}\varphi }[/math] 嵌入陪域环 [math]\displaystyle{ R' }[/math] 。