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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=典范分解
|eng_name=canonical decomposition
}}
[[群同态]]上的'''典范分解'''('''canonical decomposition''')是[[映射]]上的[[典范分解]]在群同态上的表现。对任意群同态，结构上可以被分为三步：将定义域按像的异同[[划分]]、分别对应到像、[[包含映射]]到陪域。

== 定义 ==

对群同态 <math>\varphi :G\to G'</math> ，则群同态对应的[[同余关系（代数系统）|同余关系]] <math>g_1 \sim g_2 \leftrightarrow \varphi(g_1)=\varphi(g_2)</math> 划分的全体同余类就是 <math>G/\ker\varphi</math> ，其中 <math>\ker\varphi</math> 是[[同态核]]，有：

<math>\varphi = \iota \circ \tilde{\varphi} \circ \pi</math>

或者说

<math>G \twoheadrightarrow (G/\ker\varphi) \xrightarrow[\varphi]{\sim} \operatorname{im} \varphi \hookrightarrow G'</math>

其中按复合顺序的三个映射都是群同态，分别为：
* <math>\pi</math> ：[[自然同态]]，[[满同态]]。从定义域 <math>G</math> 到[[商群]] <math>G/\ker\varphi</math> ，将全部像相同的元素映射到同一个同余类。
* <math>\tilde{\varphi}</math> ：[[群同构|同构]]。从商群 <math>G/\ker\varphi</math> 到[[同态像]] <math>\operatorname{im}\varphi</math> ，把每个像相同的同余类映射到值域里所对应的像中。
* <math>\iota</math> ：[[包含同态]]，[[单同态]]。把同态像 <math>\operatorname{im}\varphi</math> 嵌入陪域群 <math>G'</math> 。


{{群论}}