典范分解（群同态）
| 典范分解 | |
|---|---|
| 术语名称 | 典范分解 |
| 英语名称 | canonical decomposition |
群同态上的典范分解(canonical decomposition)是映射上的典范分解在群同态上的表现。对任意群同态，结构上可以被分为三步：将定义域按像的异同划分、分别对应到像、包含映射到陪域。
定义
对群同态 [math]\displaystyle{ \varphi :G\to G' }[/math] ，则群同态对应的同余关系 [math]\displaystyle{ g_1 \sim g_2 \leftrightarrow \varphi(g_1)=\varphi(g_2) }[/math] 划分的全体同余类就是 [math]\displaystyle{ G/\ker\varphi }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \ker\varphi }[/math] 是同态核，有：
[math]\displaystyle{ \varphi = \iota \circ \tilde{\varphi} \circ \pi }[/math]
或者说
[math]\displaystyle{ G \twoheadrightarrow (G/\ker\varphi) \xrightarrow[\varphi]{\sim} \operatorname{im} \varphi \hookrightarrow G' }[/math]
其中按复合顺序的三个映射都是群同态，分别为：
- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ：自然同态，满同态。从定义域 [math]\displaystyle{ G }[/math] 到商群 [math]\displaystyle{ G/\ker\varphi }[/math] ，将全部像相同的元素映射到同一个同余类。
- [math]\displaystyle{ \tilde{\varphi} }[/math] ：同构。从商群 [math]\displaystyle{ G/\ker\varphi }[/math] 到同态像 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}\varphi }[/math] ，把每个像相同的同余类映射到值域里所对应的像中。
- [math]\displaystyle{ \iota }[/math] ：包含同态，单同态。把同态像 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}\varphi }[/math] 嵌入陪域群 [math]\displaystyle{ G' }[/math] 。