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== 集合论 ==

'''集合论'''('''set theory''')是研究[[集合]]的数学理论，包含集合和元素、[[关系]]、[[映射]]等最基本数学概念。

现代集合论的研究是在1870年代由数学家<ins>康托</ins>（<ins>Cantor</ins>，全名 <ins>Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor</ins>）的朴素集合论开始。
集合论最初来自康托对无穷集合的研究，无穷的分类对应集合间一一对应关系的存在性问题，而不同的无穷发展成了康托的超穷数理论。
此时，集合是由一堆抽象对象构成的整体，被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念，没有有关集合的形式化定义，被称为'''古典集合论'''('''classical set theory''')或'''朴素集合论'''('''naive set theory''')。

朴素集合论很快成为了数学的基础，并渗透到众多数学分支中，支撑起了对无穷情况的研究。
19 世纪末 20 世纪初，<ins>布拉利</ins>-<ins>福尔蒂</ins>悖论(<ins>Burali</ins>-<ins>Forti</ins>'s paradox)（最大序数悖论：全体序数的集合的序数，必然大于全体序数集合中的最大序数，矛盾）、<ins>康托</ins>悖论(<ins>Cantor</ins>'s paradox)（最大基数悖论：全体集合若能构成一个集合，其必然有某个基数，且其内各集合基数一定不超过这个基数，但同时，其幂集又一定有更大的基数，矛盾）、<ins>罗素</ins>悖论(<ins>Russell</ins>'s paradox)（全体集合若能构成一个集合，不包含自身这一性质确定的集合无法确认是否是这一集合的成员）等被提出，集合论的可靠性被怀疑，从而引起数学基本结构被怀疑，即'''第三次数学危机'''。

后来，由<ins>策梅洛</ins>(<ins>Zermelo</ins>)和<ins>弗兰克尔</ins>(<ins>Fraenkel</ins>)重新通过公理化的方式建立了集合论，被称为'''公理化集合论'''('''axiom set theory''')。
其中八条公理构成了 '''ZF 公理系统'''('''ZF axiom system'''，'''Zermelo-Fraekel axiom system''')，进一步加入选择公理的则构成 '''[[ZFC 公理系统]]'''('''ZFC axiom system''')，后来也发展出了替换部分公理的变种。此外，也存在其他形式的公理集合论系统。
这些公理系统都能避免以上悖论。因此，这些系统暂时缓解了第三次数学危机。
但是目前仍存在未解决的问题。
比如[[选择公理]]可以确认与 ZFC 中其他公理相容且独立，但是本身是否成立是存在争议的，很多其他的集合论中也不接受这一公理。
此外，连续统假设等处于公理化集合论的基础内容也仍然存在争议，并且没有完全被解决。


[[分类:数理逻辑]]