分类:朴素集合论

集合论

集合论(set theory)是研究集合的数学理论，包含集合和元素、关系等最基本数学概念。

现代集合论的研究是在1870年代由数学家康托（Cantor，全名 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）的朴素集合论开始。 集合论最初来自康托对无穷集合的研究，无穷的分类对应集合间一一对应关系的存在性问题，而不同的无穷发展成了康托的超穷数理论。 此时，集合是由一堆抽象对象构成的整体，被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念，没有有关集合的形式化定义，被称为古典集合论(classical set theory)或朴素集合论(naive set theory)。

朴素集合论很快成为了数学的基础，并渗透到众多数学分支中，支撑起了对无穷情况的研究。 19世纪末20世纪初，布拉利-福尔蒂悖论(Burali-Forti's paradox)（最大序数悖论：全体序数的集合的序数，必然大于全体序数集合中的最大序数，矛盾）、康托悖论(Cantor's paradox)（最大基数悖论：全体集合若能构成一个集合，其必然有某个基数，且其内各集合基数一定不超过这个基数，但同时，其幂集又一定有更大的基数，矛盾）、罗素悖论(Russell's paradox)（全体集合若能构成一个集合，不包含自身这一性质确定的集合无法确认是否是这一集合的成员）等被提出，集合论的可靠性被怀疑，从而引起数学基本结构被怀疑，即第三次数学危机。

后来，由策梅洛(Zermelo)和弗兰克尔(Fraenkel)重新通过公理化的方式建立了集合论，被称为公理化集合论(axiom set theory)。 其中八条公理构成了ZF公理系统(ZF axiom system，Zermelo-Fraekel axiom system)，进一步加入选择公理的则构成ZFC公理系统(ZFC axiom system)，后来也发展出了替换部分公理的变种。此外，也存在其他形式的公理集合论系统。 这些公理系统都能避免以上悖论。因此，这些系统暂时缓解了第三次数学危机。 但是目前仍存在未解决的问题。 比如选择公理可以确认与ZFC中其他公理相容且独立，但是本身是否成立是存在争议的，很多其他的集合论中也不接受这一公理。 此外，连续统假设等处于公理化集合论的基础内容也仍然存在争议，并且没有完全被解决。