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[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=切片范畴
|eng_name=slice category
|aliases=overcategory
}}
{{InfoBox
|name=余切片范畴
|eng_name=coslice category
|aliases=undercategory
}}
'''切片范畴'''('''slice category''')指对一个[[范畴]]中的某个固定对象，有一个范畴包括指向它的态射和这些态射间相差的态射。其中对象是指向这个对象的全体态射，箭头是按原范畴中态射间合成关系的三角形[[交换图]]中的第三个态射。

'''余切片范畴'''('''coslice category''')类似地，指对一个[[范畴]]中的某个固定对象，有一个范畴包括离开它的态射和这些态射间相差的态射。对象是从这个对象指出的全体态射，箭头是按原范畴中态射间合成关系的三角形交换图中的第三个态射。

切片范畴和余切片范畴都继承原范畴中的恒等关系及合成规则，且描述这一对象附近的数据。

== 定义 ==

=== 切片范畴 ===

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 及其中对象 <math>A</math> ，记范畴 <math>\mathscr{C}/A</math> ：
* 对象类 <math>\mathrm{Obj}(\mathscr{C}/A) =\{f|f: Z\to A, Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})\}</math> ；
* 从 <math>f_1: Z_1\to A</math> 到 <math>f_2: Z_2 \to A</math> 的态射集为全体使得以下图可交换的态射 <math>\sigma</math> 。

<math>
\begin{array}{lcr}
Z_1 & \xrightarrow{\sigma} & Z_2 \\
{\tiny f_1} \searrow & & \swarrow {\tiny f_2} \\
& A & \\
\end{array}
</math>

称这样的范畴  <math>\mathscr{C}/A</math> 为范畴 <math>\mathscr{C}</math> 在对象 <math>A</math> 处的'''切片范畴'''('''slice category''')或上范畴('''overcategory''')。

<blockquote>
注：也记作 <math>\mathscr{C}_A</math> 。也有人认为对象是 <math>(Z, f)</math> 或 <math>(f, Z)</math> 。由于单独一个态射常常画成由上至下的形式，“上”指这个意义上在 <math>A</math> 的“上”方的范畴。
</blockquote>

=== 余切片范畴 ===

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 及其中对象 <math>A</math> ，记范畴 <math>A/\mathscr{C}</math> ：
* 对象类 <math>\mathrm{Obj}(A/\mathscr{C}) =\{f|f: A\to Z, Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})\}</math> ；
* 从 <math>f_1: A\to Z_1</math> 到 <math>f_2: A\to Z_2</math> 的态射集为全体使得以下图可交换的态射 <math>\sigma</math> 。

<math>
\begin{array}{lcr}
& A & \\
{\tiny f_1} \swarrow & & \searrow {\tiny f_2} \\
Z_1 & \xrightarrow{\sigma} & Z_2 \\
\end{array}
</math>

称这样的范畴  <math>A/\mathscr{C}</math> 为范畴 <math>\mathscr{C}</math> 在对象 <math>A</math> 处的'''余切片范畴'''('''coslice category''')或下范畴('''undercategory''')。

<blockquote>
注：也记作 <math>\mathscr{C}^A</math> 。也有人认为对象是 <math>(Z, f)</math> 或 <math>(f, Z)</math> 。“下”指同一意义上在 <math>A</math> 的“下”方的范畴。
</blockquote>


{{范畴论}}