切片范畴、余切片范畴
| 切片范畴 | |
|---|---|
| 术语名称 | 切片范畴 |
| 英语名称 | slice category |
| 别名 | overcategory |
| 余切片范畴 | |
|---|---|
| 术语名称 | 余切片范畴 |
| 英语名称 | coslice category |
| 别名 | undercategory |
切片范畴(slice category)指对一个范畴中的某个固定对象，有一个范畴包括指向它的态射和这些态射间相差的态射。其中对象是指向这个对象的全体态射，箭头是按原范畴中态射间合成关系的三角形交换图中的第三个态射。
余切片范畴(coslice category)类似地，指对一个范畴中的某个固定对象，有一个范畴包括离开它的态射和这些态射间相差的态射。对象是从这个对象指出的全体态射，箭头是按原范畴中态射间合成关系的三角形交换图中的第三个态射。
切片范畴和余切片范畴都继承原范畴中的恒等关系及合成规则，且描述这一对象附近的数据。
定义
切片范畴
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 及其中对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，记范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}/A }[/math] ：
- 对象类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathscr{C}/A) =\{f|f: Z\to A, Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})\} }[/math] ；
- 从 [math]\displaystyle{ f_1: Z_1\to A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ f_2: Z_2 \to A }[/math] 的态射集为全体使得以下图可交换的态射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{lcr} Z_1 & \xrightarrow{\sigma} & Z_2 \\ {\tiny f_1} \searrow & & \swarrow {\tiny f_2} \\ & A & \\ \end{array} }[/math]
称这样的范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}/A }[/math] 为范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 在对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] 处的切片范畴(slice category)或上范畴(overcategory)。
注：也记作 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}_A }[/math] 。也有人认为对象是 [math]\displaystyle{ (Z, f) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (f, Z) }[/math] 。由于单独一个态射常常画成由上至下的形式，“上”指这个意义上在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的“上”方的范畴。
余切片范畴
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 及其中对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，记范畴 [math]\displaystyle{ A/\mathscr{C} }[/math] ：
- 对象类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(A/\mathscr{C}) =\{f|f: A\to Z, Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})\} }[/math] ；
- 从 [math]\displaystyle{ f_1: A\to Z_1 }[/math] 到 [math]\displaystyle{ f_2: A\to Z_2 }[/math] 的态射集为全体使得以下图可交换的态射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{lcr} & A & \\ {\tiny f_1} \swarrow & & \searrow {\tiny f_2} \\ Z_1 & \xrightarrow{\sigma} & Z_2 \\ \end{array} }[/math]
称这样的范畴 [math]\displaystyle{ A/\mathscr{C} }[/math] 为范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 在对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] 处的余切片范畴(coslice category)或下范畴(undercategory)。
注：也记作 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}^A }[/math] 。也有人认为对象是 [math]\displaystyle{ (Z, f) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (f, Z) }[/math] 。“下”指同一意义上在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的“下”方的范畴。
| 范畴、态射 | ||
|---|---|---|
| 基本概念 | 范畴 | 态射、交换图 |
| 态射 | 单态射、满态射 | 双态射 |
| 分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面） | 同构 | |
| 泛在结构、泛性质 | ||
| 终端对象 | 始对象、终对象 | 零对象、零态射 |
| 泛在结构 | 切片范畴、余切片范畴 | - |
| 楔、余楔·楔范畴、余楔范畴 | 积、余积 | |
| 锥、余锥·锥范畴、余锥范畴 | 极限、余极限 | |
| - | 等化子、余等化子 | |
| - | 核、余核 | |