查看“︁加法”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=加法
|eng_name=addition
}}
{{InfoBox
|name=加数
|eng_name=term
|aliases=addend,项,求和项,summand
}}
{{InfoBox
|name=被加数
|eng_name=augend
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{{InfoBox
|name=和
|eng_name=sum
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'''加法'''('''addition''')是一个二元[[运算]]，是[[四则运算]]之一。

加法运算是第 1 级[[超运算]]，也就是说，[[自然数]]上的加法运算可以看作重复自然数的[[后继]]运算，即“将一个数不断重复求后继”、“将一个数不断重复加 1”的简写。

自然数上的加法由[[Peano 公理#加法公理|Peano 加法公理]]公理化。

自然数上的加法可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓。
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。

== 描述 ==

{{Operation
|name=加法
|symbol=<math>+</math>
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|operand=数
|result=数
}}
表达两个计数或类似的数量的总计的运算称为加法。
其中，两个相加的数称为'''加数'''('''addend''')，也称为加项('''term''')或求和项(summand)，结果称为'''和'''('''sum''')。
数 <math>a</math> 和数 <math>b</math> 的和记作 <math>a+b</math> ，读作 '''<math>a</math> 加 <math>b</math>''' ('''<math>a</math> plus <math>b</math>''')。
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|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+002B|Plus Sign}}
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}}

除了计数以外，加法也通常用于表达两个同质的计数的总计，或一个变化前计数与一个计数变化量的总计量，或两个变化量的总变化量的运算。

== 定义 ==

=== 超运算定义 ===

对自然数 <math>a</math> ，对其进行 <math>b</math> 次[[后继]]运算（超-0运算），得到的结果 <math>a^{\overbrace{++\dots+}^b}</math> 简记作 <math>a+b</math> ，是 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的超-1运算，称为自然数的'''加法'''。

=== 公理化定义 ===

对满足皮亚诺公理的自然数集合 <math>N</math> ，记二元函项（运算） <math>\mathring{+}</math> ，并简记 <math>\mathring{+}(a, b)</math> 为 <math>a + b</math> ：
* <math>(\forall n \in N) (n + \mathbf{0} = n)</math>
* <math>(\forall m \in N)(\forall n \in N) (m + S(n) = S(m + n))</math>
则这一运算称为'''自然数集合 <math>N</math> 上的加法'''，记为 <math>a + b</math>。

根据以上公理，可以推出自然数上的加法满足[[交换律]]，[[结合律]]和[[消去律]]，且有幺元 [[0]] 。

=== 推广到整数 ===

定义整数集 <math>Z</math> 为[[商集]] <math>(N\times N) / \sim</math> ，其中等价关系是 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c</math> 。可以定义二元运算 <math>+: Z\times Z\to Z</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] + [(c,d)] = [(a +_N c, b +_N d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>+_N</math> 是自然数上的加法。其模型相当于整数集上的加法运算。

可证明良定义且与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、消去律、有幺元 0 ，并且获得了每个元素均可逆的新性质。

=== 推广到有理数 ===

定义有理数集 <math>Q</math> 为[[商集]] <math>(Z \times Z^*) / \sim</math> ，其中等价关系是 <math>(a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c</math> ，满足：

定义二元运算 <math>+: Q\times Q\to Q</math> ，满足：

<math>
[(a,b)] + [(c,d)] = [(a \times_Z d +_Z c \times_Z b, b \times_Z d)]
</math>

其中等式右侧的 <math>+_Z</math> 、 <math>\times_Z</math> 是整数上的加法和乘法。其模型相当于有理数集上的加法运算。

可证明良定义且与整数的加法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、消去律、有幺元 0 且每个元素均可逆。

=== 推广到实数 ===

待补充。

== 性质 ==

* 结合律： <math>(a+b)+c = a+(b+c)</math>
* 交换律： <math>a+b = b+a</math> 
* 消去律： <math>a+b=a+c \Rightarrow b=c</math> ， <math>a+c=b+c \Rightarrow a=b</math>
* 有幺元 0 ： <math>a+0=a</math> ， <math>0+a=a</math>


{{四则运算}}
{{超运算}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

* 尽管加法的操作数不区分顺序，现在少数情况下，仅限于有的人在强调“在一个数基础上增加另一个数”的语义时，可能会将第一个操作数称为'''被加数'''('''augend''')，第二个称为'''加数'''('''addend''')。
* 与现在相反，在文艺复兴时期，多数人甚至反而不会把第一个操作数也看作加数<ref name="wiki-addition"/>。
* 词源上，这是认为第一个数是被增加(increase, {{Lat|augere}})的数，第二个数是被加入(add, {{Lat|addere}})到别的数的数，此时对应地用拉丁语被动将来分词后缀({{Lat|-nd}})<ref name="wiki-addition">https://en.wikipedia.org/wiki/Addition</ref>命名。
* 类似的构词下，动词求和(sum, {{Lat|summare}})也产生了对应的'''求和项'''('''summand''')的叫法。
* '''项'''('''term''')在国外较常见，但在汉语中，这个词基本只用于[[代数式]]的加法。