加法
| 加法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加法 |
| 英语名称 | addition |
| 加数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加数 |
| 英语名称 | term |
| 别名 | addend, 项, 求和项, summand |
| 被加数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 被加数 |
| 英语名称 | augend |
| 和 | |
|---|---|
| 术语名称 | 和 |
| 英语名称 | sum |
加法运算是第 1 级超运算，也就是说，自然数上的加法运算可以看作重复自然数的后继运算，即“将一个数不断重复求后继”、“将一个数不断重复加 1”的简写。
自然数上的加法由Peano 加法公理公理化。
自然数上的加法可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓。 本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。
描述
| 加法 | |
|---|---|
| 运算名称 | 加法 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ + }[/math] |
| Latex | +
|
| 运算对象 | 数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 数
|
表达两个计数或类似的数量的总计的运算称为加法。 其中，两个相加的数称为加数(addend)，也称为加项(term)或求和项(summand)，结果称为和(sum)。 数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和数 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的和记作 [math]\displaystyle{ a+b }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ a }[/math] 加 [math]\displaystyle{ b }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] plus [math]\displaystyle{ b }[/math])。
| + | |
|---|---|
| 字符 | + |
| ASCII编码 | 0x2b
|
| Unicode码位 | U+002B Plus Sign
|
| Latex命令序列 | +
|
除了计数以外，加法也通常用于表达两个同质的计数的总计，或一个变化前计数与一个计数变化量的总计量，或两个变化量的总变化量的运算。
定义
超运算定义
对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，对其进行 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次后继运算（超-0运算），得到的结果 [math]\displaystyle{ a^{\overbrace{++\dots+}^b} }[/math] 简记作 [math]\displaystyle{ a+b }[/math] ，是 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的超-1运算，称为自然数的加法。
公理化定义
对满足皮亚诺公理的自然数集合 [math]\displaystyle{ N }[/math] ，记二元函项（运算） [math]\displaystyle{ \mathring{+} }[/math] ，并简记 [math]\displaystyle{ \mathring{+}(a, b) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ a + b }[/math] ：
- [math]\displaystyle{ (\forall n \in N) (n + \mathbf{0} = n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall m \in N)(\forall n \in N) (m + S(n) = S(m + n)) }[/math]
则这一运算称为自然数集合 [math]\displaystyle{ N }[/math] 上的加法，记为 [math]\displaystyle{ a + b }[/math]。
根据以上公理，可以推出自然数上的加法满足交换律，结合律和消去律，且有幺元 0 。
推广到整数
定义整数集 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (N\times N) / \sim }[/math] ，其中等价关系是 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a+d=b+c }[/math] 。可以定义二元运算 [math]\displaystyle{ +: Z\times Z\to Z }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] + [(c,d)] = [(a +_N c, b +_N d)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ +_N }[/math] 是自然数上的加法。其模型相当于整数集上的加法运算。
可证明良定义且与自然数的加法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、消去律、有幺元 0 ，并且获得了每个元素均可逆的新性质。
推广到有理数
定义有理数集 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为商集 [math]\displaystyle{ (Z \times Z^*) / \sim }[/math] ，其中等价关系是 [math]\displaystyle{ (a,b) \sim (c,d) \leftrightarrow a \times_Z d = b \times_Z c }[/math] ，满足：
定义二元运算 [math]\displaystyle{ +: Q\times Q\to Q }[/math] ，满足：
[math]\displaystyle{ [(a,b)] + [(c,d)] = [(a \times_Z d +_Z c \times_Z b, b \times_Z d)] }[/math]
其中等式右侧的 [math]\displaystyle{ +_Z }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \times_Z }[/math] 是整数上的加法和乘法。其模型相当于有理数集上的加法运算。
可证明良定义且与整数的加法运算兼容。可证明这个运算继承了交换律、结合律、消去律、有幺元 0 且每个元素均可逆。
推广到实数
待补充。
性质
- 结合律： [math]\displaystyle{ (a+b)+c = a+(b+c) }[/math]
- 交换律： [math]\displaystyle{ a+b = b+a }[/math]
- 消去律： [math]\displaystyle{ a+b=a+c \Rightarrow b=c }[/math] ， [math]\displaystyle{ a+c=b+c \Rightarrow a=b }[/math]
- 有幺元 0 ： [math]\displaystyle{ a+0=a }[/math] ， [math]\displaystyle{ 0+a=a }[/math]
| 四则运算 | |||
|---|---|---|---|
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 减法 [math]\displaystyle{ - }[/math] | 乘法 [math]\displaystyle{ \times }[/math] | 除法 [math]\displaystyle{ \div }[/math] |
| 超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 级别 [math]\displaystyle{ n }[/math] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 超运算 | 后继 | 加法 | 乘法 | 乘方 | 超幂/幂塔/迭代幂次 | 广义迭代幂次 | … |
| 对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算 | 前趋 | 减法 | 除法 | 开方 | 超开方 | … | |
| 对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算 | 对数 | 超对数 | … | ||||
琐事
名称
- 尽管加法的操作数不区分顺序，现在少数情况下，仅限于有的人在强调“在一个数基础上增加另一个数”的语义时，可能会将第一个操作数称为被加数(augend)，第二个称为加数(addend)。
- 与现在相反，在文艺复兴时期，多数人甚至反而不会把第一个操作数也看作加数[1]。
- 词源上，这是认为第一个数是被增加(increase, augere)的数，第二个数是被加入(add, addere)到别的数的数，此时对应地用拉丁语被动将来分词后缀(-nd)[1]命名。
- 类似的构词下，动词求和(sum, summare)也产生了对应的求和项(summand)的叫法。
- 项(term)在国外较常见，但在汉语中，这个词基本只用于代数式的加法。