查看“︁包含关系”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:bao1han2guan1xi5}}
{{#seo:
|keywords=包含关系, 真包含关系, 包含, 包含于, 子集, 超集, 真子集, 真超集
|description=本文介绍集合论中的包含关系，包括子集、超集、真子集和真超集的定义、数学记号、性质及相关符号变体，涵盖偏序关系和常见混淆点。
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|published_time=2023-07-29
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{{InfoBox
|name=包含关系
|eng_name=inclusion
|aliases=子集关系,超集关系
}}
'''包含关系'''('''inclusion''')，表示一个[[集合]]中的元素是否都是另一个集合中的元素。
包含的一方是被包含一方的'''超集'''，被包含的一方是包含一方的'''子集'''。

== 记号 ==

{{Relation
|name=包含关系（子集关系）
|symbol=<math>\subseteq</math>
|latex=\subseteq
|operand_relation=集合
|prototype=偏序
}}
{{Relation
|name=包含关系（超集关系）
|symbol=<math>\supseteq</math>
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|prototype=偏序
}}
{{InfoBox
|name=子集
|eng_name=subset
}}
{{InfoBox
|name=超集
|eng_name=superset
}}
给定集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，当集合 <math>A</math> 的元素都是集合 <math>B</math> 的元素，即有 <math>\forall x \in A (x \in B)</math> 时：
* 称“<math>A</math> '''包含于''' <math>B</math> (<math>A</math> '''is included in''' <math>B</math>)”或者“<math>A</math> '''是''' <math>B</math> '''的子集''' (<math>A</math> '''is a subset of''' <math>B</math>)”，记作<math>A \subseteq B</math>。
* 称“<math>B</math> '''包含''' <math>A</math> (<math>B</math> '''includes''' <math>A</math>)”或者“<math>B</math> '''是''' <math>A</math> '''的超集''' (<math>B</math> '''is a superset of''' <math>A</math>)”，记作<math>B \supseteq A</math>。

{{CharMetaInfo
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|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2286|Subset of or Equal to}}
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}}
{{CharMetaInfo
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|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2287|Superset of or Equal to}}
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}}

相对的情况相应地记作 <math>A \nsubseteq B</math> 和 <math>B \nsupseteq A</math> ，称为“不包含于(is not included in)”“不是……的子集(is not a subset of)”、“不包含(does not include)”“不是……的超集(is not a superset of)”。

{{CharMetaInfo
|char=&#x2288;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2288|Neither a Subset of nor Equal to}}
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}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x2289;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2289|Neither a Superset of nor Equal to}}
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}}

{{Relation
|name=真包含关系（真子集关系）
|symbol=<math>\subset</math>
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|operand_relation=集合
|prototype=拟序
}}
{{Relation
|name=真包含关系（真超集关系）
|symbol=<math>\supset</math>
|latex=\supset
|operand_relation=集合
|prototype=拟序
}}
{{InfoBox
|name=真子集
|eng_name=proper subset
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}}
{{InfoBox
|name=真超集
|eng_name=proper superset
|aliases=strict superset
}}
进一步地，如果 <math>A</math> 是 <math>B</math> 的子集，且集合 <math>B</math> 中至少有一个元素不属于集合 <math>A</math> ，即有 <math>\exists x \in B (x \notin A)</math> 时：
* 称“<math>A</math> '''真包含于''' <math>B</math> (<math>A</math> '''is properly/strictly included in''' <math>B</math>)”或者“<math>A</math> '''是''' <math>B</math> '''的真子集''' (<math>A</math> '''is a proper/strict subset of''' <math>B</math>)”，记作<math>A \subset B</math>。
* 称“<math>B</math> '''真包含''' <math>A</math> (<math>B</math> '''properly/strictly includes''' <math>A</math>)”或者“<math>B</math> '''是''' <math>A</math> '''的真超集''' (<math>A</math> '''is a proper/strict superset of''' <math>B</math>)”，记作<math>B \supset A</math>。

{{CharMetaInfo
|char=&#x2282;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2282|Subset of, Included in Set}}</ref>
|latex=\subset
}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x2283;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2283|Superset of, Includes in Set}}
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}}

相对的情况相应地记作 <math>A \not\subset B</math> 和 <math>B \not\supset A</math> ，称为“不真包含于(is not properly/strictly included in)”“不是……的真子集(is not a proper/strict subset of)”、“不真包含(does not properly/strictly include)”“不是……的真超集(is not a proper/strict superset of)”。

{{CharMetaInfo
|char=&#x2284;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2284|Not a Subset of}}
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}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x2285;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2285|Not a Superset of}}
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}}

== 性质 ==

* 由定义，如果 <math>x \in A</math> 且 <math>A \subseteq B</math>，那么 <math>x \in B</math>。
* 包含关系是一种[[偏序关系]]。
** [[自反性]]：对于任意一个集合 <math>A</math>， <math>A \subseteq A</math>。
** [[反对称性]]：如果 <math>A \subseteq B</math> 且 <math>B \subseteq A</math>，那么 <math>A=B</math>。
** [[传递性]]：如果 <math>A \subseteq B</math> 且 <math>B \subseteq C</math>，那么 <math>A \subseteq C</math>。
* 真包含关系是一种[[拟序关系]]。
** [[反自反性]]：对于任意一个集合 <math>A</math>， <math>\lnot (A \subset A)</math> 。
** [[不对称性]]：对于任意两个集合 <math>A,B</math>， <math>\lnot(A \subset B) \lor \lnot(B\subset A)</math> 。
** 传递性：如果 <math>A \subset B</math> 且 <math>B \subset C</math>，那么 <math>A \subset C</math>。

== 琐事 ==

=== 变体 ===

有的人会使用下加等号并划掉的方式 <math>A \subsetneq B</math> 或 <math>A \subsetneqq B</math> 来表达真包含关系。
有的人使用不带下划线的 <math>A \subset B</math> 表示普通的可能相等包含关系。
这里统一选择了和不等号规则一致的表示方法（即 <math>\subset,\subseteq</math> 类比于 <math><,\leq</math> ），以减少混淆。

{{CharMetaInfo
|char=&#x228A;
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}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x228B;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+228B|Superset of with not Equal to}}
|latex=\supsetneq
}}

=== 关于 containment ===

包含关系也会使用 contain 来代替 include，但是使用 contains 、 set containment 等描述时，可能指代元素属于集合，也可能指集合包含于集合，需要根据语境区分<ref>https://math.stackexchange.com/questions/4054432/definition-of-set-containment</ref>。


{{集合}}