| 包含关系
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| 术语名称
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包含关系
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| 英语名称
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inclusion
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| 别名
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子集关系, 超集关系
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包含关系(inclusion)，表示一个集合中的元素是否都是另一个集合中的元素。
包含的一方是被包含一方的超集，被包含的一方是包含一方的子集。
记号
| 包含关系（子集关系）
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| 关系名称
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包含关系（子集关系）
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| 关系符号
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[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]
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| Latex
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\subseteq
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| 关系对象
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集合
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| 关系元数
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2
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| 类型
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偏序
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| 包含关系（超集关系）
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| 关系名称
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包含关系（超集关系）
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| 关系符号
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[math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]
|
| Latex
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\supseteq
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| 关系对象
|
集合
|
| 关系元数
|
2
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| 类型
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偏序
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给定集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素都是集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素，即有 [math]\displaystyle{ \forall x \in A (x \in B) }[/math] 时：
- 称“[math]\displaystyle{ A }[/math] 包含于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] is included in [math]\displaystyle{ B }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的子集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a subset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]。
- 称“[math]\displaystyle{ B }[/math] 包含 [math]\displaystyle{ A }[/math] ([math]\displaystyle{ B }[/math] includes [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ B }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的超集 ([math]\displaystyle{ B }[/math] is a superset of [math]\displaystyle{ A }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ B \supseteq A }[/math]。
| ⊆
|
| 字符
|
⊆
|
| Unicode码位
|
U+2286 Subset of or Equal to
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| Latex命令序列
|
\subseteq
|
| ⊇
|
| 字符
|
⊇
|
| Unicode码位
|
U+2287 Superset of or Equal to
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| Latex命令序列
|
\supseteq
|
相对的情况相应地记作 [math]\displaystyle{ A \nsubseteq B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B \nsupseteq A }[/math] ，称为“不包含于(is not included in)”“不是……的子集(is not a subset of)”、“不包含(does not include)”“不是……的超集(is not a superset of)”。
| ⊈
|
| 字符
|
⊈
|
| Unicode码位
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U+2288 Neither a Subset of nor Equal to
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| Latex命令序列
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\nsubseteq
|
| ⊉
|
| 字符
|
⊉
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| Unicode码位
|
U+2289 Neither a Superset of nor Equal to
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| Latex命令序列
|
\nsupseteq
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| 真包含关系（真子集关系）
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| 关系名称
|
真包含关系（真子集关系）
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| 关系符号
|
[math]\displaystyle{ \subset }[/math]
|
| Latex
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\subset
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| 关系对象
|
集合
|
| 关系元数
|
2
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| 类型
|
拟序
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| 真包含关系（真超集关系）
|
| 关系名称
|
真包含关系（真超集关系）
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| 关系符号
|
[math]\displaystyle{ \supset }[/math]
|
| Latex
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\supset
|
| 关系对象
|
集合
|
| 关系元数
|
2
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| 类型
|
拟序
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| 真子集
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| 术语名称
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真子集
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| 英语名称
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proper subset
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| 别名
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strict subset
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| 真超集
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| 术语名称
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真超集
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| 英语名称
|
proper superset
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| 别名
|
strict superset
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进一步地，如果 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的子集，且集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中至少有一个元素不属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，即有 [math]\displaystyle{ \exists x \in B (x \notin A) }[/math] 时：
- 称“[math]\displaystyle{ A }[/math] 真包含于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ([math]\displaystyle{ A }[/math] is properly/strictly included in [math]\displaystyle{ B }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的真子集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a proper/strict subset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ A \subset B }[/math]。
- 称“[math]\displaystyle{ B }[/math] 真包含 [math]\displaystyle{ A }[/math] ([math]\displaystyle{ B }[/math] properly/strictly includes [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ B }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的真超集 ([math]\displaystyle{ A }[/math] is a proper/strict superset of [math]\displaystyle{ B }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ B \supset A }[/math]。
| ⊂
|
| 字符
|
⊂
|
| Unicode码位
|
U+2282 Subset of, Included in Set</ref>
|
| Latex命令序列
|
\subset
|
| ⊃
|
| 字符
|
⊃
|
| Unicode码位
|
U+2283 Superset of, Includes in Set
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| Latex命令序列
|
\supset
|
相对的情况相应地记作 [math]\displaystyle{ A \not\subset B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B \not\supset A }[/math] ，称为“不真包含于(is not properly/strictly included in)”“不是……的真子集(is not a proper/strict subset of)”、“不真包含(does not properly/strictly include)”“不是……的真超集(is not a proper/strict superset of)”。
| ⊄
|
| 字符
|
⊄
|
| Unicode码位
|
U+2284 Not a Subset of
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| Latex命令序列
|
\not\subset
|
| ⊅
|
| 字符
|
⊅
|
| Unicode码位
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U+2285 Not a Superset of
|
| Latex命令序列
|
\not\supset
|
性质
- 由定义，如果 [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]。
- 包含关系是一种偏序关系。
- 自反性：对于任意一个集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]， [math]\displaystyle{ A \subseteq A }[/math]。
- 反对称性：如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A=B }[/math]。
- 传递性：如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]。
- 真包含关系是一种拟序关系。
- 反自反性：对于任意一个集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]， [math]\displaystyle{ \lnot (A \subset A) }[/math] 。
- 不对称性：对于任意两个集合 [math]\displaystyle{ A,B }[/math]， [math]\displaystyle{ \lnot(A \subset B) \lor \lnot(B\subset A) }[/math] 。
- 传递性：如果 [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \subset C }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A \subset C }[/math]。
琐事
变体
有的人会使用下加等号并划掉的方式 [math]\displaystyle{ A \subsetneq B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math] 来表达真包含关系。
有的人使用不带下划线的 [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] 表示普通的可能相等包含关系。
这里统一选择了和不等号规则一致的表示方法（即 [math]\displaystyle{ \subset,\subseteq }[/math] 类比于 [math]\displaystyle{ \lt ,\leq }[/math] ），以减少混淆。
| ⊊
|
| 字符
|
⊊
|
| Unicode码位
|
U+228A Subset of with not Equal to
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| Latex命令序列
|
\subsetneq
|
| ⊋
|
| 字符
|
⊋
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| Unicode码位
|
U+228B Superset of with not Equal to
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| Latex命令序列
|
\supsetneq
|
关于 containment
包含关系也会使用 contain 来代替 include，但是使用 contains 、 set containment 等描述时，可能指代元素属于集合，也可能指集合包含于集合，需要根据语境区分[1]。
