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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=半群
|eng_name=semigroup
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'''半群'''('''semigroup''')指一个集合和其上一个有[[结合性]]的二元[[运算]]构成的代数系统。要求二元运算[[封闭性|封闭]]且可结合。

== 定义 ==

=== 形式化定义 ===

对非空集合 <math>S</math> 及其上一个二元运算 <math>\cdot</math> ，若其满足以下'''半群公理'''('''semigroup axioms''')：

* '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall a, b \in S) (a\cdot b \in S)</math> ；
* '''结合性'''('''associativity''')：<math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> 。

则构成的代数系统 <math>\langle M, \cdot \rangle</math> 称为一个'''半群'''('''semigroup''')。

=== 性质描述 ===

运算满足结合性的[[原群]]称为半群。

== 举例 ==

* 正整数集上的加法 <math>\langle \mathbb{N}_{+}, + \rangle</math> 。

* 定义了二元运算的[[单点集]]是一个半群（严格地说是一个群），见[[平凡群]]。
* 双元素集的半群在同构意义上不同的有五个。
* 三元素集的半群在同构意义上不同的有八个。


{{群及相关代数系统}}

== 琐事 ==

=== 命名 ===

由群(group)推广，因此称为半(semi-)群(group)。