查看“︁单位（环）”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=单位
|eng_name=unit
|aliases=可逆元,invertible element
}}
{{InfoBox
|name=左单位
|eng_name=left unit
|aliases=左可逆元,left invertible element
}}
{{InfoBox
|name=右单位
|eng_name=right unit
|aliases=右可逆元,right invertible element
}}
'''单位'''('''unit''')/可逆元('''invertible element''')是指[[环]]中乘法下的[[可逆]]元素。

单位(unit)一词在少数语境下可能也指单位元(unity/identity)。

== 定义 ==

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> 及元素 <math>a\in R</math> ：
* 若 <math>(\exists b \in R)(a \cdot b=1_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''左单位'''('''left unit''')；
* 若 <math>(\exists b \in R)(b \cdot a=1_R)</math> ，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''右单位'''('''right unit''')；
* 若 <math>a</math> 同时是环 <math>R</math> 中的左单位和右单位，称元素 <math>a</math> 是环 <math>R</math> 中的一个'''单位'''('''unit''')。也说'''双侧单位'''('''two-sided unit''')。

== 性质 ==

以下条件等价：
* <math>a</math> 是 <math>R</math> 中的左（右）单位。
* 左（右）乘以 <math>a</math> 的运算 <math>x \mapsto ax</math>（<math>x \mapsto xa</math>） 是一个满射。

双侧单位两侧的乘法逆元相同且唯一。

环中所有的单位关于乘法构成群，称为[[单位群]]。


{{环与模与域}}