查看“︁单射”︁的源代码

[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=单射
|eng_name=injection
|aliases=injective function,一对一映射,one-to-one mapping,1-1 mapping,one-to-one function,1-1 function
}}
'''单射'''('''injection''')指一个[[映射]]中，对值域中的每个元素，都只有一个原像与其对应。即对陪域中的每个元素，都只有至多一个原像与其对应。

== 定义 ==

对映射 <math>f: X\to Y</math> ，若：
<math>\forall x_1 \forall x_2 (f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2)</math>
则称这个映射是 '''injective''' 的或'''一一的'''/'''一对一的'''（'''one-to-one'''），或称其是一个'''单射'''('''injection''')或'''一对一映射'''（'''one-to-one function'''）。
若将其看作一个[[左全关系|左全]][[右唯一关系|右唯一]]的关系，这一条件即要求其同时是一个[[左唯一关系]]。

区别于普通的“从 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的映射”(a map from <math>X</math> to <math>Y</math>)、“把 <math>X</math> 映射到 <math>Y</math> ”(maps from <math>X</math> to <math>Y</math>)，单射也被表述为“从 <math>X</math> 到 <math>Y</math> '''内'''的映射”(a map from <math>X</math> '''into''' <math>Y</math>)、“把 <math>X</math> 映射到 <math>Y</math> '''内'''”(maps from <math>X</math> '''into''' <math>Y</math>)。

注：也有人使用等价的[[假言易位|逆否]]形式 <math>\forall x_1 \forall x_2 (x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2))</math> 。也就是说对不同原像一定有不同的像。

== 记号 ==

单射，也使用带有尾部的箭头，如 <math>f: X \rightarrowtail Y</math> 。
特别在[[交换图|图]]中经常被画成类似 <math>\rightarrowtail</math> 的箭头，也有人用类似 <math>\hookrightarrow</math> 的箭头，但后者也用于专指[[包含映射]]。

{{CharMetaInfo
|char=&#x21A3;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+21A3|Rightwards Arrow with Tail}}
|latex=\rightarrowtail
}}
{{CharMetaInfo
|char=&#x21AA;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+21AA|Rightwards Arrow with Hook}}
|latex=\hookrightarrow
}}

== 性质 ==

在映射的[[复合（映射）|复合]]运算下，
* 非空的单射总有左[[逆元]]。
* 有左逆元的映射一定是单射。

也就是说：

{{InfoBox
|eng_name=retraction
}}
对任意单射 <math>f: X\to Y</math> ，存在 <math>g: Y \to X</math> 使得 <math>g</math> 是 <math>f</math> 在复合运算下的左逆元，即 <math>g \circ f = \mathrm{id}_X</math> 。这样的左逆元称为映射 <math>f</math> 的 '''retraction''' 。

如果单射本身不是双射，则这个左逆不是右逆，左逆也不唯一。
仅能够保证其限制 <math>g|_{\operatorname{im}f}</math> 是确定的，和单射约束陪域成为双射后的映射互逆。

对任意映射 <math>f: X\to Y</math> ，若存在 <math>g: Y \to X</math> 使得 <math>g</math> 是 <math>f</math> 在复合运算下的左逆元，即 <math>g \circ f = \mathrm{id}_X</math> ，则 <math>f</math> 必为单射。


{{映射}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

一般情况下，“一一的”、“一对一的”是 one-to-one 的直译，本身指单射。而 one-to-one corresponding ，译为一一对应或一一映射，指双射，与 one-to-one mapping 、 one-to-one function 的含义不同。

在数学以外的领域，经常把单射、非单射叫做“'''一对一'''”('''one-to-one''')和“'''多对一'''”('''many-to-one''')。

构词上 injection 的 in- （到……内）和 map into 的 into 是同一含义。表达的是把前一个集合的（不同）元素，经过映射塞进后一个集合的一部分，所以字面上是映射到“里面”。有时会被翻译为“入射”。