单射
| 单射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 单射 |
| 英语名称 | injection |
| 别名 | injective function, 一对一映射, one-to-one mapping, 1-1 mapping, one-to-one function, 1-1 function |
单射(injection)指一个映射中，对值域中的每个元素，都只有一个原像与其对应。即对陪域中的每个元素，都只有至多一个原像与其对应。
定义
对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若： [math]\displaystyle{ \forall x_1 \forall x_2 (f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2) }[/math] 则称这个映射是 injective 的或一一的/一对一的（one-to-one），或称其是一个单射(injection)或一对一映射（one-to-one function）。 若将其看作一个左全右唯一的关系，这一条件即要求其同时是一个左唯一关系。
区别于普通的“从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射”(a map from [math]\displaystyle{ X }[/math] to [math]\displaystyle{ Y }[/math])、“把 [math]\displaystyle{ X }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ”(maps from [math]\displaystyle{ X }[/math] to [math]\displaystyle{ Y }[/math])，单射也被表述为“从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 内的映射”(a map from [math]\displaystyle{ X }[/math] into [math]\displaystyle{ Y }[/math])、“把 [math]\displaystyle{ X }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 内”(maps from [math]\displaystyle{ X }[/math] into [math]\displaystyle{ Y }[/math])。
注：也有人使用等价的逆否形式 [math]\displaystyle{ \forall x_1 \forall x_2 (x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)) }[/math] 。也就是说对不同原像一定有不同的像。
记号
单射，也使用带有尾部的箭头，如 [math]\displaystyle{ f: X \rightarrowtail Y }[/math] 。 特别在图中经常被画成类似 [math]\displaystyle{ \rightarrowtail }[/math] 的箭头，也有人用类似 [math]\displaystyle{ \hookrightarrow }[/math] 的箭头，但后者也用于专指包含映射。
| ↣ | |
|---|---|
| 字符 | ↣ |
| Unicode码位 | U+21A3 Rightwards Arrow with Tail
|
| Latex命令序列 | \rightarrowtail
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| ↪ | |
|---|---|
| 字符 | ↪ |
| Unicode码位 | U+21AA Rightwards Arrow with Hook
|
| Latex命令序列 | \hookrightarrow
|
性质
在映射的复合运算下，
- 非空的单射总有左逆元。
- 有左逆元的映射一定是单射。
也就是说：
| retraction | |
|---|---|
| 术语名称 | |
| 英语名称 | retraction |
对任意单射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，存在 [math]\displaystyle{ g: Y \to X }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在复合运算下的左逆元，即 [math]\displaystyle{ g \circ f = \mathrm{id}_X }[/math] 。这样的左逆元称为映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的 retraction 。
如果单射本身不是双射，则这个左逆不是右逆，左逆也不唯一。 仅能够保证其限制 [math]\displaystyle{ g|_{\operatorname{im}f} }[/math] 是确定的，和单射约束陪域成为双射后的映射互逆。
对任意映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ g: Y \to X }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是 [math]\displaystyle{ f }[/math] 在复合运算下的左逆元，即 [math]\displaystyle{ g \circ f = \mathrm{id}_X }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ f }[/math] 必为单射。
| 映射 | |
|---|---|
| 定义属性 | 定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math] |
| 特殊映射 | 空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math] |
| 类型 | 单射、满射、双射 |
| 运算 | 复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓 |
琐事
名称
一般情况下，“一一的”、“一对一的”是 one-to-one 的直译，本身指单射。而 one-to-one corresponding ，译为一一对应或一一映射，指双射，与 one-to-one mapping 、 one-to-one function 的含义不同。
在数学以外的领域，经常把单射、非单射叫做“一对一”(one-to-one)和“多对一”(many-to-one)。
构词上 injection 的 in- （到……内）和 map into 的 into 是同一含义。表达的是把前一个集合的（不同）元素，经过映射塞进后一个集合的一部分，所以字面上是映射到“里面”。有时会被翻译为“入射”。