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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:fan3chuan2di4guan1xi5}}
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|keywords=反传递关系, 反传递性
|description=本文介绍反传递关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括反传递关系与反自反性的关系及其在关系运算中的行为。
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|published_time=2023-07-29
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'''反传递关系'''('''antitransitive relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，对任意三个元素， a 和 b 有关系， b 和 c 有关系，则 a 和 c 的关系一定不成立。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \forall b \forall c (a R b \land b R c \rightarrow a \lnot R c)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''反传递的'''('''antitransitive''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''反传递性'''('''antitransitivity''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''反传递关系'''('''antitransitive relation''')。

等价定义：
* 与自身[[复合（关系）|复合]]后得到的关系与原关系[[不相交]]，即 <math>R^2 \cap R = \varnothing</math> 。
* 与自身任意次复合后得到的关系都和原关系不相交，即 <math>R^n \cap R = \varnothing, n\in \mathbb{N}_+ \land n\leq 2</math> 。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是自反的当且仅当自反关系的关系图不存在任何长度≥2的路径存在一条从起点到终点的边。
* 关系简单运算相关性质
** 反传递关系的[[交关系|交]]仍是反传递关系。
** 反传递关系的[[并关系|并]]'''不一定'''是反传递关系。
** 反传递关系的复合'''不一定'''是反传递关系。
** 反传递关系的[[幂（关系）|幂]]仍是反传递关系。
** 反传递关系的[[逆关系]]仍是反传递关系。
** 反传递关系的[[补关系]]是[[自反关系]]。
* 关系闭包运算相关性质
** 反传递关系的[[自反闭包]]是其自身与恒等关系这两个不相交关系的并关系。
** 反传递关系的[[传递闭包]]'''不一定'''是反传递关系。
** 反传递关系的[[对称闭包]]'''不一定'''是反传递关系。
* 参与特殊类型关系
** 反传递关系一定是反自反关系。
** 传递关系与[[反传递关系]]不互相排斥（蕴含前件总是为假即可。即找不到满足 <math>aRb, bRc</math> 的三个元素，任何元素不同时出现在关系有序对的前后两侧）。


{{关系}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Intransitivity#Antitransitivity Intransitivity - Wikipedia]