反传递关系

反传递关系
术语名称	反传递关系
英语名称	antitransitive relation

反传递性
术语名称	反传递性
英语名称	antitransitivity

反传递的
术语名称	反传递的
英语名称	antitransitive

反传递关系(antitransitive relation)指集合上的一个二元关系中，对任意三个元素， a 和 b 有关系， b 和 c 有关系，则 a 和 c 的关系一定不成立。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a R b \land b R c \rightarrow a \lnot R c) }[/math]，称：

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反传递的(antitransitive)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有反传递性(antitransitivity)，
关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反传递关系(antitransitive relation)。

等价定义：

与自身复合后得到的关系与原关系不相交，即 [math]\displaystyle{ R^2 \cap R = \varnothing }[/math] 。
与自身任意次复合后得到的关系都和原关系不相交，即 [math]\displaystyle{ R^n \cap R = \varnothing, n\in \mathbb{N}_+ \land n\leq 2 }[/math] 。

性质

表示
- 一个关系是自反的当且仅当自反关系的关系图不存在任何长度≥2的路径存在一条从起点到终点的边。
关系简单运算相关性质
- 反传递关系的交仍是反传递关系。
- 反传递关系的并不一定是反传递关系。
- 反传递关系的复合不一定是反传递关系。
- 反传递关系的幂仍是反传递关系。
- 反传递关系的逆关系仍是反传递关系。
- 反传递关系的补关系是自反关系。
关系闭包运算相关性质
- 反传递关系的自反闭包是其自身与恒等关系这两个不相交关系的并关系。
- 反传递关系的传递闭包不一定是反传递关系。
- 反传递关系的对称闭包不一定是反传递关系。
参与特殊类型关系
- 反传递关系一定是反自反关系。
- 传递关系与反传递关系不互相排斥（蕴含前件总是为假即可。即找不到满足 [math]\displaystyle{ aRb, bRc }[/math] 的三个元素，任何元素不同时出现在关系有序对的前后两侧）。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

参考资料

Intransitivity - Wikipedia