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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:fan3dui4chen4guan1xi5}}
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|keywords=反对称关系, 反对称性
|description=本文介绍反对称关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括反对称关系的关系矩阵表示和与偏序关系的密切联系。
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|published_time=2024-02-24
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'''反对称关系'''('''antisymmetric relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，任意两个不同元素若有关系，则交换顺序后一定无关系。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \forall b (a R b \land b R a \rightarrow a = b)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''反对称的'''('''antisymmetric''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''反对称性'''('''antisymmetry''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''反对称关系'''('''antisymmetric relation''')。

等价定义：
* 与自身[[逆关系]]在两个元素相等的情况以外[[不相交]]的关系，即  <math>R^\mathrm{T} \cup R \subseteq I_X</math> ，其中 <math>I_X</math> 是 <math>X</math> 上的[[恒等关系]]。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是反对称的当且仅当关系矩阵对角线外的对称位置不同时是 1 ，即对任意 <math>i\neq j</math> ，不能同时有 <math>r_{ij}=1</math> 和 <math>r_{ji}=1</math> 。
** 一个关系是反对称的当且仅当关系图任意两个不同顶点间都不存在双向边。
* 关系简单运算相关性质
** 反对称关系的[[交关系|交]]仍是反对称关系。
** 反对称关系的[[并关系|并]]'''不一定'''是反对称关系。
** 反对称关系的[[复合（关系）|复合]]和[[幂（关系）|幂]]'''不一定'''是反对称关系。
** 反对称关系的[[逆关系]]仍是反对称关系。
** 反对称关系的[[补关系|补]]'''不一定'''是对称关系，也'''不一定'''是反对称关系。
* 关系闭包运算相关性质
** 反对称关系的[[自反闭包]]仍是反对称关系。
** 反对称关系的[[传递闭包]]'''不一定'''是反对称关系。
** 反对称关系的[[对称闭包]]是自身与逆关系的并关系，相当于加上逆关系差掉恒等关系后剩下的部分。
* 参与特殊类型关系
** 所有[[偏序关系]]都是反对称关系。
** 反对称关系与[[对称关系]]不互相排斥（同时是对称的且反对称的当且仅当是恒等关系的子关系）。
** 反对称关系同时是[[反自反关系]]的关系是[[不对称关系]]。


{{关系}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetric_relation Antisymmetric Relation - Wikipedia]