反对称关系

反对称关系
术语名称	反对称关系
英语名称	antisymmetric relation

反对称关系(antisymmetric relation)指集合上的一个二元关系中，所有有关系且不同的元素对交换顺序后无关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a R b \land b R a \rightarrow a = b) }[/math]，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反对称的(antisymmetric)，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有反对称性(antisymmetry)，及关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反对称关系(antisymmetric relation)。

以上定义等价于 [math]\displaystyle{ R \cap R^\mathrm{T} \subseteq I_X }[/math] 。

性质

反对称关系的关系矩阵，对角线外所有以对角线为轴对称的位置，不存在同时是 1 的情况。

反对称关系如果同时反自反，则构成不对称关系。

反对称关系与对称关系不互相排斥，其补关系是全关系。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

参考资料

1. Antisymmetric Relation - Wikipedia