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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:fan3zi4fan3guan1xi5}}
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|keywords=反自反关系, 反自反性
|description=本文介绍反自反关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括反自反关系的关系矩阵表示和与自反关系的互补性。
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|published_time=2023-04-26
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'''反自反关系'''('''irreflexive relation''')指某[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，集合中所有元素都与其自身不具有关系。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \in X (a \lnot R a)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''反自反的'''('''irreflexive''' / '''anti-reflexive''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''反自反性'''('''irreflexivity''' / '''anti-reflexivity''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''反自反关系'''('''irreflexive relation''' / '''anti-reflexive relation''')。

等价定义：
* 与[[恒等关系]][[不相交]]的关系，即 <math>I_X \cap R = \varnothing</math> ，其中 <math>I_X</math> 是 <math>X</math> 上的恒等关系。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是反自反的当且仅当关系矩阵对角线上的元素都是 0 。
** 一个关系是反自反的当且仅当关系图每个顶点都没有自环。
* 关系简单运算相关性质
** 反自反关系的[[交关系|交]]仍是反自反关系。
** 反自反关系的[[并关系|并]]仍是反自反关系。
** 反自反关系的[[复合（关系）|复合]]、[[幂（关系）|幂]]'''不一定'''是反自反关系。
** 反自反关系的[[逆关系]]仍是反自反关系。
** 反自反关系的[[补关系]]是[[自反关系]]。
* 关系闭包运算相关性质
** 反自反关系的[[自反闭包]]是其与恒等关系这两个不交集合的并。
** 反自反关系的[[传递闭包]]'''不一定'''是反自反关系。
** 反自反关系的[[对称闭包]]'''不一定'''是反自反关系。
* 参与特殊类型关系
** 所有[[严格偏序]]都是反自反关系。
** 自反关系和反自反关系是冲突的概念，不能同时成立在一个关系上，但是空集上的关系可以。
** 若一个关系同时是反自反的和传递的，则它是反对称的。


{{关系}}