反自反关系

反自反关系
术语名称	反自反关系
英语名称	irreflexive relation
别名	anti-reflexive relation

反自反关系(irreflexive relation)指某集合上的一个二元关系中，集合中所有元素都与其自身无关。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \in X (a \lnot R a) }[/math]，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反自反的(irreflexive / anti-reflexive)，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有反自反性(irreflexivity / anti-reflexivity)，及关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是反自反关系(irreflexive relation / anti-reflexive relation)。

以上定义等价于 [math]\displaystyle{ I_X \cap R = \varnothing }[/math] 。

性质

自反关系的关系矩阵对角线上的元素都是 0。

反自反关系的补关系一定是一个自反关系。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

参考资料

1. Reflexive Relation - Wikipedia