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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:fan3zi4fan3he2}}
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|keywords=反自反核, 自反约简
|description=本文介绍自反约简、反自反核的定义、计算方法及其在二元关系理论中的性质，包括自反约简在各种运算下的行为。
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|published_time=2023-04-26
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{{InfoBox
|name=反自反核
|eng_name=irreflexive kernel
|aliases=自反约简,reflexive reduction
}}
'''自反约简'''('''reflexive reduction''')/'''反自反核'''('''irreflexive kernel''')是指对[[集合]]上的一个二元[[关系]]，其包含的最大的[[反自反关系]]。
可以简单地认为，是约简掉其中构成自反成分的有序对，只留下反自反部分。

{{非标准翻译}}

== 定义 ==

{{Operation
|name=自反约简/反自反核
|symbol=<math>R^\neq</math>
|latex=^\neq
|operand=关系
|operand_num=1
|result=关系
|domain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，定义满足以下条件的所有关系 <math>S</math>：
* <math>S</math> 是反自反关系
* <math>S \subseteq R</math>
其中必有一个关系是其他所有关系的超集，称为关系 <math>R</math> 的'''反自反核'''('''irreflexive kernel''')。

== 性质 ==

* 基本性质
** 计算： <math>R^\neq = R\setminus I_X</math> 。集合 <math>X</math> 上关系的自反约简是这一关系与其[[逆关系]]的[[差关系|差]]。
** 反自反关系的反自反核是其自身。
** 反自反核是与 <math>R</math> 有相同[[自反闭包]]的最小关系。
** 反自反核是包含于 <math>R</math> 的最大反自反关系。
** 反自反核是从 <math>R</math> 中去除最少有序对构成的反自反关系。
* 运算性质
** 反自反核运算是[[幂等性（一元运算）|幂等]]的： <math>(R^\neq)^\neq = R^\neq</math> 。
** 反自反核运算是[[单调性|单调]]的：如果 <math>R \subseteq S</math> ，则 <math>R^\neq \subseteq S^\neq</math> 。
** 反自反核与[[并关系|并]]运算可交换： <math>(R \cup S)^\neq = R^\neq \cup S^\neq</math> 。
** 反自反核与[[交关系|交]]运算可交换： <math>(R \cap S)^\neq = R^\neq \cap S^\neq</math> 。
** 反自反核与[[逆关系]]可交换： <math>(R^{-1})^\neq = (R^\neq)^{-1}</math> 。
* 特殊关系的反自反核
** [[空关系]]的对称闭包是空关系： <math>\varnothing^\neq = \varnothing</math>
** [[恒等关系]]的对称闭包是空关系： <math>I_X^\neq = \varnothing</math>
** [[全关系]]的对称闭包是恒等关系的补关系： <math>(X \times X)^\neq = (X \times X)\setminus I_X = \{(x,y)\in X\times X\mid x \neq y\}</math>
* 表示
** 关系图
*** 反自反核的关系图是在原关系图中去掉每个顶点上的自环
** 关系矩阵
*** 反自反核的关系矩阵是原矩阵中主对角线元素全部改为 0 后的矩阵


{{关系}}