反自反核

反自反核
术语名称	反自反核
英语名称	irreflexive kernel
别名	自反约简, reflexive reduction

自反约简(reflexive reduction)/反自反核(irreflexive kernel)是指对集合上的一个二元关系，其包含的最大的反自反关系。可以简单地认为，是约简掉其中构成自反成分的有序对，只留下反自反部分。

本条目没有一致可信的中文译名。

定义

自反约简/反自反核
运算名称	自反约简/反自反核
运算符号	[math]\displaystyle{ R^\neq }[/math]
Latex	`^\neq`
运算对象	关系
运算元数	1
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，定义满足以下条件的所有关系 [math]\displaystyle{ S }[/math]：

[math]\displaystyle{ S }[/math] 是反自反关系
[math]\displaystyle{ S \subseteq R }[/math]

其中必有一个关系是其他所有关系的超集，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的反自反核(irreflexive kernel)。

性质

基本性质
- 计算： [math]\displaystyle{ R^\neq = R\setminus I_X }[/math] 。集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上关系的自反约简是这一关系与其逆关系的差。
- 反自反关系的反自反核是其自身。
- 反自反核是与 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有相同自反闭包的最小关系。
- 反自反核是包含于 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的最大反自反关系。
- 反自反核是从 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中去除最少有序对构成的反自反关系。
运算性质
- 反自反核运算是幂等的： [math]\displaystyle{ (R^\neq)^\neq = R^\neq }[/math] 。
- 反自反核运算是单调的：如果 [math]\displaystyle{ R \subseteq S }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ R^\neq \subseteq S^\neq }[/math] 。
- 反自反核与并运算可交换： [math]\displaystyle{ (R \cup S)^\neq = R^\neq \cup S^\neq }[/math] 。
- 反自反核与交运算可交换： [math]\displaystyle{ (R \cap S)^\neq = R^\neq \cap S^\neq }[/math] 。
- 反自反核与逆关系可交换： [math]\displaystyle{ (R^{-1})^\neq = (R^\neq)^{-1} }[/math] 。
特殊关系的反自反核
- 空关系的对称闭包是空关系： [math]\displaystyle{ \varnothing^\neq = \varnothing }[/math]
- 恒等关系的对称闭包是空关系： [math]\displaystyle{ I_X^\neq = \varnothing }[/math]
- 全关系的对称闭包是恒等关系的补关系： [math]\displaystyle{ (X \times X)^\neq = (X \times X)\setminus I_X = \{(x,y)\in X\times X\mid x \neq y\} }[/math]
表示
- 关系图
  - 反自反核的关系图是在原关系图中去掉每个顶点上的自环
- 关系矩阵
  - 反自反核的关系矩阵是原矩阵中主对角线元素全部改为 0 后的矩阵

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]