查看“︁同构（范畴）”︁的源代码

{{InfoBox
|name=同构
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}}
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|name=同构的
|eng_name=isomorphic
}}
'''同构'''('''isomorphism''')指[[范畴]]中左右[[可逆]]的态射。

'''同构'''('''isomorphic''')对象指两个对象间存在同构的态射。

== 定义 ==

=== 同构（态射） ===

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> ，态射 <math>f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B)</math> ，若存在 <math>g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B, A)</math> ，有 <math>g f = 1_A, f g = 1_B</math> ，则称态射 <math>f</math> 是'''同构'''('''isomorphism''')。
其中态射 <math>g</math> 称为态射 <math>f</math> 的逆态射，记为 <math>f^{-1}</math> 。

=== 同构（对象） ===

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> ，若态射 <math>f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B)</math> 是同构，则称对象 <math>A,B</math> 是'''同构的'''('''isomorphic''')，记作 <math>A\cong B</math>。

== 性质 ==

* 如果态射是同构，则其逆态射唯一。
* 单位态射是同构，且逆态射是其自身。
* 同构的逆态射必然也是同构，且两个态射互为逆态射。
<math>
\begin{array}{rcl}
A & \xrightleftharpoons[f^{-1}]{f} & B \\
1_A \circlearrowleft & & \circlearrowleft 1_B
\end{array}
</math>
* 两同构合成必然也是同构，且其逆态射为对应逆态射反向合成。
<math>
\begin{array}{rclcl}
A & \xrightleftharpoons[f^{-1}]{f} & B & \xrightleftharpoons[g^{-1}]{g} & C \\
1_A \circlearrowleft & & \circlearrowleft 1_B & & \circlearrowleft 1_C
\end{array}
</math>
* 同构必然是[[分裂单态射]]，当然也是[[单态射]]；同构必然是[[分裂满态射]]，当然也是[[满态射]]。
* 同时是分裂单态射和[[满态射]]则一定是同构，同时是分裂满态射和[[单态射]]也一定是同构；但如果只是[[单态射]]和[[满态射]]，不一定是同构，称为[[双态射]]。

同构在对象间是一个[[等价关系]]。


{{范畴论}}