同构（范畴）
| 同构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 同构 |
| 英语名称 | isomorphism |
| 同构的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 同构的 |
| 英语名称 | isomorphic |
同构(isomorphic)对象指两个对象间存在同构的态射。
定义
同构（态射）
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ，态射 [math]\displaystyle{ f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B, A) }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ g f = 1_A, f g = 1_B }[/math] ，则称态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是同构(isomorphism)。 其中态射 [math]\displaystyle{ g }[/math] 称为态射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的逆态射，记为 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] 。
同构（对象）
对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ，若态射 [math]\displaystyle{ f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) }[/math] 是同构，则称对象 [math]\displaystyle{ A,B }[/math] 是同构的(isomorphic)，记作 [math]\displaystyle{ A\cong B }[/math]。
性质
- 如果态射是同构，则其逆态射唯一。
- 单位态射是同构，且逆态射是其自身。
- 同构的逆态射必然也是同构，且两个态射互为逆态射。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} A & \xrightleftharpoons[f^{-1}]{f} & B \\ 1_A \circlearrowleft & & \circlearrowleft 1_B \end{array} }[/math]
- 两同构合成必然也是同构，且其逆态射为对应逆态射反向合成。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rclcl} A & \xrightleftharpoons[f^{-1}]{f} & B & \xrightleftharpoons[g^{-1}]{g} & C \\ 1_A \circlearrowleft & & \circlearrowleft 1_B & & \circlearrowleft 1_C \end{array} }[/math]
- 同构必然是分裂单态射，当然也是单态射；同构必然是分裂满态射，当然也是满态射。
- 同时是分裂单态射和满态射则一定是同构，同时是分裂满态射和单态射也一定是同构；但如果只是单态射和满态射，不一定是同构，称为双态射。
同构在对象间是一个等价关系。
| 范畴、态射 | ||
|---|---|---|
| 基本概念 | 范畴 | 态射、交换图 |
| 态射 | 单态射、满态射 | 双态射 |
| 分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面） | 同构 | |
| 泛在结构、泛性质 | ||
| 终端对象 | 始对象、终对象 | 零对象、零态射 |
| 泛在结构 | 切片范畴、余切片范畴 | - |
| 楔、余楔·楔范畴、余楔范畴 | 积、余积 | |
| 锥、余锥·锥范畴、余锥范畴 | 极限、余极限 | |
| - | 等化子、余等化子 | |
| - | 核、余核 | |