查看“︁否定”︁的源代码

[[分类:命题逻辑]]{{DEFAULTSORT:fou3ding4}}
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|keywords=否定, 命题否定, 否定词, 否定命题
|description=本文介绍否定的定义、性质与表示方法，包括否定作为一元逻辑联结词的概念，其真值表定义，及其在逻辑推理中的重要性。
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|published_time=2023-08-06
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{{InfoBox
|name=否定
|eng_name=negation
|aliases=逻辑否定,logical complement,logical NOT
}}
{{InfoBox
|name=否定式
|eng_name=negative formula
}}
{{InfoBox
|name=否定命题
|eng_name=negative proposition
}}
'''否定'''('''negation''')是一个一元[[逻辑联结词]]。将一个[[命题]]转换为其反面，即“该命题不成立”所对应的命题。
否定命题的[[真值]]与原命题相反。

== 定义 ==

{{Operation
|name=否定
|symbol=<math>\lnot</math>
|latex=\lnot,\neg
|operand=命题公式
|operand_num=1
|result=命题公式
|prototype=布尔代数
}}
对命题 <math>P</math> ，记命题 <math>R</math> 满足：
* 仅当 <math>P</math> 为[[真]]时，命题 <math>R</math> 为假；
* 仅当 <math>P</math> 为假时，命题 <math>R</math> 为真。
称这样的命题 <math>R</math> 为命题 <math>P</math> 的'''否定'''('''negation''')，记为 <math>\lnot P</math> ，读作'''非 <math>P</math>''' ('''not <math>P</math>''' )。
其中[[逻辑联结词]] <math>\lnot</math> 称为'''否定词'''。
{{CharMetaInfo
|char=&#x00AC;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+00AC|Not Sign, Angled Dash}}
|latex=\lnot
}}

{{GiteaSvg|venn_graph/compl}}

否定的其他常见记号有 <math>\sim P</math> 和 <math>\bar{P}</math>。

主联结词为否定词的公式称为'''否定式'''('''negative formula''')；
主联结词为否定词的命题称为'''否定命题'''('''negative proposition''')。

=== 真值表 ===

{| class="wikitable" style="text-align:center;border-width:2px;margin: 0 auto;min-width:6em"
|+ <math>\lnot</math> 的真值表
|-
! scope="col" style="width:50%;border-bottom-width:2px" | <math>p</math>
! scope="col" style="width:50%;border-bottom-width:2px" | <math>\lnot p</math>
|-
| {{True}}
| {{False}}
|-
| {{False}}
| {{True}}
|}

== 性质 ==

* [[双重否定律]]（具有[[对合性]]）：对于任意命题 <math>P</math> ，有 <math>\lnot\lnot P = P</math> 。
* [[德·摩根律]]：对于任意命题 <math>P</math> 和 <math>Q</math> ，有 <math>\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B</math>、<math>\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B</math> 。
* [[矛盾律]]：对于任意命题 <math>P</math> ， <math>P \land \lnot P = \mathrm{F}</math> 。
* [[排中律]]：对于任意命题 <math>P</math> ， <math>P \lor \lnot P = \mathrm{T}</math> 。

== 不同逻辑系统中的否定 ==

以上为经典逻辑中的否定：否定是真值函数的，完全由真值表定义。且满足双重否定律和排中律，其中否定是对合的，应用两次否定回到原命题。
* 直觉主义逻辑不承认双重否定律 <math>\lnot\lnot P = P</math> ，认为排中律 <math>P \lor \lnot P</math> 不是普遍有效的。
* 多值逻辑中，真值的取值可能性更多，否定可能有更复杂的定义方式。
* 模糊逻辑中，否定定义为 <math>\lnot P = 1 - P</math>，其中 <math>P</math> 是 <math>[0,1]</math> 区间内的真值度。


{{命题逻辑}}
{{逻辑联结词}}