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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=商环
|eng_name=quotient ring
|aliases=因子环,factor ring
}}
'''商环'''('''quotient ring''')指[[环]]中加法群的[[商群]]可能构成的环。
商群不总是环，其要求是被商的子群是环的双侧[[理想]]。

也称原来的环“商掉”某个同余或者子群得到的环。

== 定义 ==

=== 定理 ===

对环 <math>R</math> ，在加法群的商群 <math>R / I</math> 中，
陪集上的运算 <math>\circ^l : (r_1 + I, r_2 + I) \mapsto r_1 r_2 + I</math> 良定义；
当且仅当 <math>I</math> 是 <math>R</math> 的双侧理想时成立。

=== 定义 ===

对环 <math>R</math> 及双侧理想 <math>I</math> ，记 <math>R/I = \{r + I \mid r\in R \}</math> ，且 <math>R/I</math> 关于加法 <math>+:(r_1 + I, r_2 + I) \mapsto (r_1+r_2) + I</math> 和乘法 <math>\cdot: (r_1 + I, r_2 + I) \mapsto r_1 r_2 + I</math> 构成一个环，称为环 <math>R</math> 对理想 <math>I</math> 的'''商环'''('''quotient ring''' of <math>R</math> modulo <math>I</math> )。


{{环与模与域}}