商环
| 商环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 商环 |
| 英语名称 | quotient ring |
| 别名 | 因子环, factor ring |
商环(quotient ring)指环中加法群的商群可能构成的环。 商群不总是环，其要求是被商的子群是环的双侧理想。
也称原来的环“商掉”某个同余或者子群得到的环。
定义
定理
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，在加法群的商群 [math]\displaystyle{ R / I }[/math] 中， 陪集上的运算 [math]\displaystyle{ \circ^l : (r_1 + I, r_2 + I) \mapsto r_1 r_2 + I }[/math] 良定义； 当且仅当 [math]\displaystyle{ I }[/math] 是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的双侧理想时成立。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 及双侧理想 [math]\displaystyle{ I }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ R/I = \{r + I \mid r\in R \} }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ R/I }[/math] 关于加法 [math]\displaystyle{ +:(r_1 + I, r_2 + I) \mapsto (r_1+r_2) + I }[/math] 和乘法 [math]\displaystyle{ \cdot: (r_1 + I, r_2 + I) \mapsto r_1 r_2 + I }[/math] 构成一个环，称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 对理想 [math]\displaystyle{ I }[/math] 的商环(quotient ring of [math]\displaystyle{ R }[/math] modulo [math]\displaystyle{ I }[/math] )。