查看“︁商群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=陪集空间
|eng_name=coset space
}}
{{InfoBox
|name=商群
|eng_name=quotient group
|aliases=因子群,factor group
}}
'''商群'''('''quotient group''')指[[群]]被群上[[正规子群]]划分成的[[陪集]]上的群。
同时也刚好是[[同余关系（代数系统）|同余关系]][[划分]]成的同余类上的群，即群上由同余关系所定义的商结构。
因此在商群中，原来的群的有某种相似性的元素被聚集成一个新元素。

也称原来的群“商掉”这个同余或者这个子群得到的群。

== 陪集空间 ==

=== 定理 ===

对群 <math>G</math> ，有：
* 对群上的任意同余关系 <math>\sim</math> ，[[幺元]] <math>e_G</math> 所在的同余类 <math>[e_G]_\sim = \{g\in G \mid g \sim e_G\}</math> 总是一个子群。
* 对任意子群 <math>H \leq G</math> ，关系 <math>a\sim b \leftrightarrow a b^{-1} \in H</math> 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系。
* 对任意子群 <math>H \leq G</math> ，关系 <math>a\sim b \leftrightarrow a^{-1} b \in H</math> 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系。
这表明了群上同余关系和子群有对应关系，都对应着群的划分。

=== 定义（陪集空间） ===

对群 <math>G</math> 及子群 <math>H \leq G</math> ，关系 <math>a\sim b \leftrightarrow a^{-1} b \in H</math> 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系，记作 <math>a \equiv^l b \pmod H</math> ，称为群 <math>G</math> 对群 <math>H</math> 的'''模 <math>H</math> 左同余关系'''('''left congruence modulo <math>H</math>''' )。此时 <math>\{gH \mid g\in G \}</math> 称为群 <math>G</math> 模群 <math>H</math> 的'''左陪集空间'''('''left coset space''' of <math>G</math> modulo <math>H</math> )，记作 <math>G/H^l</math> 或 <math>G \backslash H</math> 。

类似地，对群 <math>G</math> 及子群 <math>H \leq G</math> ，关系 <math>a\sim b \leftrightarrow a b^{-1} \in H</math> 记作 <math>a \equiv^r b \pmod H</math> ，称为群 <math>G</math> 对群 <math>H</math> 的'''模 <math>H</math> 右同余关系'''('''right congruence modulo <math>H</math>''' )。此时 <math>\{Hg \mid g\in G \}</math> 称为群 <math>G</math> 模群 <math>H</math> 的'''右陪集空间'''('''right coset space''' of <math>G</math> modulo <math>H</math> )，记作 <math>G/H^r</math> 或 <math>G / H</math> 。

== 商群 ==

=== 定理 ===

* 左陪集上的运算 <math>\circ^l : (g_1 H, g_2 H) \mapsto (g_1 g_2) H</math> 良定义；
* 右陪集上的运算 <math>\circ^r : (H g_1, H g_2) \mapsto H (g_1 g_2)</math> 良定义。
当且仅当 <math>H \unlhd G</math> 成立。

=== 定义 ===

对群 <math>G</math> 及正规子群 <math>N \unlhd G</math> ，其左右同余关系相同，称为'''模 <math>N</math> 同余关系'''('''congruence modulo <math>N</math>''' )，左右陪集空间相同，称为'''陪集空间'''('''coset space''')，记作 <math>G/N = \{gN \mid g\in G \}</math> ，且 <math>G/N</math> 关于 <math>\cdot: (g_1 N, g_2 N) \mapsto (g_1 g_2) N</math> 构成一个群，称为群 <math>G</math> 对群 <math>N</math> 的'''商群'''('''quotient group''' of <math>G</math> by/modulo <math>N</math> )。

此时 <math>G/H^l</math> 关于 <math>\circ^l</math> 构成一个群，称为群 <math>G</math> 对群 <math>H</math> 的'''左商群'''('''left quotient group''' of <math>G</math> by/modulo <math>H</math> ) 、 <math>G/H^r</math> 关于 <math>\circ^r</math> 构成一个群，称为群 <math>G</math> 对群 <math>H</math> 的'''右商群'''('''right quotient group''' of <math>G</math> by/modulo <math>H</math> )。

== 性质 ==

根据 [[Lagrange 定理（群论）|Lagrange 定理]]，有其[[阶（群）|阶]] <math>|G/N| = [G:N] = \tfrac{|G|}{|N|}</math> ，因此被称为商群。

商群中，平凡陪集 <math>N</math> 是其[[幺元]]。对每个陪集 <math>aN</math> 有[[逆元]] <math>a^{-1}N</math> 。

考虑[[典范分解（群同态）|群同态的典范分解]]，有：对群 <math>G</math> 及正规子群 <math>N \unlhd G</math> ，若群同态 <math>\varphi:G \to H</math> 满足 <math>\ker \varphi \supseteq N</math> ，则必然存在唯一群同态 <math>\tilde\varphi: G/N \to H</math> 满足 <math>\varphi=\tilde\varphi \circ \pi</math> ，其中 <math>\pi</math> 是到商集的自然投影。

若 <math>H\unlhd G, K \leq G, H \subset K</math> ，则 <math>H \unlhd K</math> ，且 <math>K/H \leq G/H</math> ，且从所有 <math>G</math> 中包含 <math>H</math> 的子群 <math>K</math> 构成的集合，到商群 <math>G/H</math> 的全体子群，映射 <math>u(K)=K/H</math> 都是一个保持包含关系的双射。


{{群论}}