商群
| 陪集空间 | |
|---|---|
| 术语名称 | 陪集空间 |
| 英语名称 | coset space |
| 商群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 商群 |
| 英语名称 | quotient group |
| 别名 | 因子群, factor group |
商群(quotient group)指群被群上正规子群划分成的陪集上的群。 同时也刚好是同余关系划分成的同余类上的群，即群上由同余关系所定义的商结构。 因此在商群中，原来的群的有某种相似性的元素被聚集成一个新元素。
也称原来的群“商掉”这个同余或者这个子群得到的群。
陪集空间
定理
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，有：
- 对群上的任意同余关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，幺元 [math]\displaystyle{ e_G }[/math] 所在的同余类 [math]\displaystyle{ [e_G]_\sim = \{g\in G \mid g \sim e_G\} }[/math] 总是一个子群。
- 对任意子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，关系 [math]\displaystyle{ a\sim b \leftrightarrow a b^{-1} \in H }[/math] 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系。
- 对任意子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，关系 [math]\displaystyle{ a\sim b \leftrightarrow a^{-1} b \in H }[/math] 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系。
这表明了群上同余关系和子群有对应关系，都对应着群的划分。
定义（陪集空间）
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，关系 [math]\displaystyle{ a\sim b \leftrightarrow a^{-1} b \in H }[/math] 总是等价关系，而且是群上的一个同余关系，记作 [math]\displaystyle{ a \equiv^l b \pmod H }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 对群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的模 [math]\displaystyle{ H }[/math] 左同余关系(left congruence modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] )。此时 [math]\displaystyle{ \{gH \mid g\in G \} }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 模群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的左陪集空间(left coset space of [math]\displaystyle{ G }[/math] modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ G/H^l }[/math] 或 [math]\displaystyle{ G \backslash H }[/math] 。
类似地，对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及子群 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，关系 [math]\displaystyle{ a\sim b \leftrightarrow a b^{-1} \in H }[/math] 记作 [math]\displaystyle{ a \equiv^r b \pmod H }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 对群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的模 [math]\displaystyle{ H }[/math] 右同余关系(right congruence modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] )。此时 [math]\displaystyle{ \{Hg \mid g\in G \} }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 模群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的右陪集空间(right coset space of [math]\displaystyle{ G }[/math] modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ G/H^r }[/math] 或 [math]\displaystyle{ G / H }[/math] 。
商群
定理
- 左陪集上的运算 [math]\displaystyle{ \circ^l : (g_1 H, g_2 H) \mapsto (g_1 g_2) H }[/math] 良定义；
- 右陪集上的运算 [math]\displaystyle{ \circ^r : (H g_1, H g_2) \mapsto H (g_1 g_2) }[/math] 良定义。
当且仅当 [math]\displaystyle{ H \unlhd G }[/math] 成立。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及正规子群 [math]\displaystyle{ N \unlhd G }[/math] ，其左右同余关系相同，称为模 [math]\displaystyle{ N }[/math] 同余关系(congruence modulo [math]\displaystyle{ N }[/math] )，左右陪集空间相同，称为陪集空间(coset space)，记作 [math]\displaystyle{ G/N = \{gN \mid g\in G \} }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ G/N }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ \cdot: (g_1 N, g_2 N) \mapsto (g_1 g_2) N }[/math] 构成一个群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 对群 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的商群(quotient group of [math]\displaystyle{ G }[/math] by/modulo [math]\displaystyle{ N }[/math] )。
此时 [math]\displaystyle{ G/H^l }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ \circ^l }[/math] 构成一个群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 对群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的左商群(left quotient group of [math]\displaystyle{ G }[/math] by/modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] ) 、 [math]\displaystyle{ G/H^r }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ \circ^r }[/math] 构成一个群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 对群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的右商群(right quotient group of [math]\displaystyle{ G }[/math] by/modulo [math]\displaystyle{ H }[/math] )。
性质
根据 Lagrange 定理，有其阶 [math]\displaystyle{ |G/N| = [G:N] = \tfrac{|G|}{|N|} }[/math] ，因此被称为商群。
商群中，平凡陪集 [math]\displaystyle{ N }[/math] 是其幺元。对每个陪集 [math]\displaystyle{ aN }[/math] 有逆元 [math]\displaystyle{ a^{-1}N }[/math] 。
考虑群同态的典范分解，有：对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及正规子群 [math]\displaystyle{ N \unlhd G }[/math] ，若群同态 [math]\displaystyle{ \varphi:G \to H }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \ker \varphi \supseteq N }[/math] ，则必然存在唯一群同态 [math]\displaystyle{ \tilde\varphi: G/N \to H }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \varphi=\tilde\varphi \circ \pi }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 是到商集的自然投影。
若 [math]\displaystyle{ H\unlhd G, K \leq G, H \subset K }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ H \unlhd K }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ K/H \leq G/H }[/math] ，且从所有 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中包含 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的子群 [math]\displaystyle{ K }[/math] 构成的集合，到商群 [math]\displaystyle{ G/H }[/math] 的全体子群，映射 [math]\displaystyle{ u(K)=K/H }[/math] 都是一个保持包含关系的双射。