查看“︁商集”︁的源代码

[[分类:集合]]
[[分类:等价关系]]{{DEFAULTSORT:shang1ji2}}
{{#seo:
|keywords=商集, 商集合
|description=本文介绍商集的概念、定义和记号，涵盖集合在等价关系下的商集构造及其与划分的关系，包括等价类和商集的基本性质。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-7-29
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{{InfoBox
|name=商集
|eng_name=quotient set
|aliases=商集合,商,quotient
}}
'''商集'''('''quotient set''')指[[集合]]在一个[[等价关系]]下所有[[等价类]]的集合。是原集合的一个[[划分]]。

== 定义 ==

{{Operation
|name=商集
|symbol=<math>/</math>
|latex=/
|operand=集合,关系
|result=集族
}}
对集合 <math>S</math> ，及 <math>S</math> 上的等价关系 <math>\sim</math> ，记每个元素 <math>a\in S</math> 代表的等价类为 <math>[a] = \left\{ x\in S \mid a \sim x \right\}</math> ，则集合 <math>\left\{ [a] \mid a \in S \right\}</math> 是集合 <math>S</math> 的一个划分，称其为集合 <math>S</math> 关于等价关系 <math>\sim</math> 的'''商集合'''('''quotient set''')，简称'''商集'''或'''商'''('''quotient''')，记作 <math>S/\sim</math> 。

说明：
* <math>S/\sim =\left \{ [a] \mid a \in S \right\}, [a] = \left\{ x\in S \mid a \sim x \right\}</math>
* 商集是集合对等价关系的商。原集合被等价关系划分成若干等价类，再将这些等价类本身视为新的元素，从而构成一个新的集合。这一过程中，等价的元素被[[自然映射]]（或称典范投影）抽象到同一个等价类。


{{等价关系}}
{{集合}}